出てくるもの1：中性子がフォノンを1個作る・吸収する

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第3章 §3.3.2　★★★ 1フォノン散乱は $\bm{\kappa}=\pm\bm{k}+\bm{G}$、$\hbar\omega=\pm\hbar\omega_s(\bm{k})$ の点にだけ現れ、強さは $(n_{\mathrm B}+1)$ または $n_{\mathrm B}$、$(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_s)^2/\omega_s$、Debye–Waller 因子の積になる

時間相関を調和近似で計算する

式 (3.3.5) の相関関数で $\hat{\bm{r}}_j=\bm{R}_j+\hat{\bm{u}}_j$ とすると、格子点の位相 $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{\kappa}\cdot(\bm{R}_j-\bm{R}_{j'})}$ がくくり出せ、残るのは$\langle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_j(t)}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_{j'}(0)} \rangle$ である。調和近似では $\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}$ が生成消滅演算子の1次式で、熱平衡の状態はそれについて Gauss 型なので、第1部第3章の Debye–Waller 因子と同じ理由で

$$\langle \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_j(t)}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_{j'}(0)} \rangle =\mathrm{e}^{-2W}\exp\langle \bigl(\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_j(t)\bigr)\bigl(\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_{j'}(0)\bigr) \rangle ,\qquad 2W\coloneqq\langle (\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}})^2 \rangle\tag{3.3.8}$$

が成り立つ（Bloch の等式。調和振動子の熱平衡では厳密）。右側の指数関数を展開すると、0次の項 $1$ は Debye–Waller 因子つきの Bragg ピーク（第1部第3章）に当たり、1次の項はフォノン1個の出入り、$\ell$ 次の項はフォノン $\ell$ 個の出入りに当たる。

1次の項を計算する。式 (3.3.1) の展開を入れ、$\langle \hat a\hat a^\dagger \rangle =n_{\mathrm B}+1$、$\langle \hat a^\dagger\hat a \rangle =n_{\mathrm B}$（$n_{\mathrm B}(\omega)=1/(\mathrm{e}^{\beta\hbar\omega}-1)$、$\hat a(t)=\hat a\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_st}$）を使うと

$$\langle \bigl(\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_j(t)\bigr)\bigl(\bm{\kappa}\cdot\hat{\bm{u}}_{j'}(0)\bigr) \rangle =\frac1N\sum_{\bm{k},s}\frac{\hbar(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_s)^2}{2M\omega_s} \Bigl[(n_{\mathrm B}+1)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot(\bm{R}_j-\bm{R}_{j'})-\mathrm{i}\omega_st}+n_{\mathrm B}\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{k}\cdot(\bm{R}_j-\bm{R}_{j'})+\mathrm{i}\omega_st}\Bigr]$$

である。格子点の和 $\sum_{j,j'}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\bm{\kappa}\mp\bm{k})\cdot(\bm{R}_j-\bm{R}_{j'})}$ は、$\bm{\kappa}\mp\bm{k}$ が逆格子ベクトルのときだけ $N^2$ で、それ以外は 0 になる。時間の積分が $\delta$ 関数を作り、結果は次のようにまとまる。

$\bm{\kappa}=\bm{k}+\bm{G}$ は、中性子が失った運動量が「フォノンの結晶運動量 $\hbar\bm{k}$」と「結晶全体の運動量 $\hbar\bm{G}$」に分かれることを表す。結晶運動量が逆格子ベクトルの分だけずれて保存するのは、格子の並進対称性が離散的であることの帰結で（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第10章）、連続な並進対称性なら $\bm{G}=\bm{0}$ に限られる。

強度の4つの因子

式 (3.3.9) の強度には4つの因子が掛かっている。どれも実験の計画に直結する。

第一は温度の因子 $n_{\mathrm B}+1$ と $n_{\mathrm B}$ である。フォノンを作る散乱（$\omega>0$）は絶対零度でも起きるが、吸収する散乱（$\omega<0$）は熱で励起されたフォノンがあるときにしか起きない。比 $n_{\mathrm B}/(n_{\mathrm B}+1)=\mathrm{e}^{-\beta\hbar\omega_s}$ は、詳細つり合い (3.3.6) そのものである。

第二は偏りの因子 $(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_s)^2$ である。中性子が原子を押す向きは $\bm{\kappa}$ の向きなので、原子が $\bm{\kappa}$ に垂直に揺れる枝は見えない。$\bm{\kappa}$ を $\bm{k}$ に平行に取れば縦波だけが、$\bm{k}$ に垂直な成分を持たせれば横波が見える。$\bm{G}$ を選び直すと、同じ $\bm{k}$ のフォノンを違う $\bm{\kappa}$ の向きで測れるので、枝を見分けるには測る Brillouin 域を変えればよい。

第三は $1/\omega_s$ の因子で、振幅の2乗平均 $\hbar/(2M\omega_s)$ から出る。低いエネルギーのフォノンほど揺れが大きく、強く見える。

第四は Debye–Waller 因子 $\mathrm{e}^{-2W}$ と $\kappa^2$ の競合である。$(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_s)^2$ は $\kappa^2$ に比例して大きくなるが、$\mathrm{e}^{-2W}$ は $\kappa^2$ の指数で小さくなるので、1フォノンの強度は $2W\approx1$ あたりで最大になる。大きすぎる $\kappa$ では強度が多フォノンの散乱へ移る（3.3.5 節）。

三軸分光器と散乱の三角形

実験では、入射の $\bm{k}$ を単結晶のモノクロメータの Bragg 反射で選び、試料で散乱された中性子の $\bm{k}'$ をもう1つの単結晶（アナライザ）の Bragg 反射で選ぶ。モノクロメータ・試料・アナライザの3つの回転軸を持つので、三軸分光器と呼ぶ。$\bm{\kappa}$ を逆格子の1点に固定したまま $\hbar\omega$ を動かす測り方（$\bm{\kappa}$ 一定の走査）で、ピークの出る $\hbar\omega$ を読めば、その $\bm{k}$ での $\hbar\omega_s(\bm{k})$ が1点決まる。B. N. Brockhouse と A. T. Stewart はこの方法でアルミニウムの単結晶のフォノンの分散関係を初めて測った（B. N. Brockhouse and A. T. Stewart (1955), Phys. Rev. 100, 756）。