何を削ったか：非調和性・多フォノン・分極率の近似

(1) $\kappa=3\,\text{\AA}^{-1}$：$r=0.0143$、$2W=0.0377$、$y=0.0348$ で、$P_0=0.963$、$P_1=0.0363$、$P_2=3.9\times10^{-4}$。$\kappa=8\,\text{\AA}^{-1}$：$r=0.102$、$2W=0.268$、$y=0.248$ で、$P_0=0.777$、$P_1=0.206$、$P_2=0.0158$。$\kappa$ を $8/3$ 倍にすると1フォノンの重みは約6倍になるが、2フォノンの割合が1フォノンの $1\%$ から $8\%$ に増える。和 $\sum_\ell P_\ell$ はどちらも 1 になる。$\kappa=3\,\text{\AA}^{-1}$ の $2W$ は、第1部第3章の例題で $(111)$ 反射の Debye–Waller 因子を求めたときの値 $0.0379$ とほぼ同じ $\kappa$ である。

(2) $I_1(y)\approx y/2$、$\mathrm{e}^{-2W}\to1$ とすると $P_1\approx\frac r{2\sinh(x/2)}(\mathrm{e}^{x/2}+\mathrm{e}^{-x/2})$。$\mathrm{e}^{x/2}/(2\sinh(x/2))=1/(1-\mathrm{e}^{-x})=n_{\mathrm B}+1$、$\mathrm{e}^{-x/2}/(2\sinh(x/2))=n_{\mathrm B}$ なので、$P_1\approx r[(n_{\mathrm B}+1)+n_{\mathrm B}]$ で、$r=\hbar\kappa^2/(2M\omega_{\mathrm E})$ は式 (3.3.9) の係数（1方向なので $(\bm{\kappa}\cdot\bm{e})^2=\kappa^2$）に一致する。

(3) 幅をエネルギーで書くと $\Delta E=hc\cdot3.0\,\mathrm{cm^{-1}}$、$\tau=\hbar/\Delta E=1/(2\pi c\cdot3.0\,\mathrm{cm^{-1}})=1.77\,\mathrm{ps}$。光学フォノンの周期 $1/(15.6\,\mathrm{THz})=0.064\,\mathrm{ps}$ の約 28 倍で、フォノンは数十回振動するあいだ生きている。調和近似の描像が成り立つのは、この比が大きいからである。