何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第3章 §3.3.6　★★ 測るのはピークの位置（分散関係）・幅（寿命）・強度比（温度と偏り）。授業の「保存則」は $S$ の $\delta$ 関数の位置だけを取り出したもの

授業で習った形との対応

学部の固体物理の授業では、中性子の非弾性散乱を2つの保存則として習うことが多い。

$$\frac{\hbar^2k^2}{2m_{\mathrm n}}=\frac{\hbar^2k'^2}{2m_{\mathrm n}}\pm\hbar\omega_s(\bm{k}_{\mathrm{ph}}),\qquad \bm{k}=\bm{k}'\pm\bm{k}_{\mathrm{ph}}+\bm{G}$$

（$+$ がフォノンの生成、$-$ が吸収）。この章の形では、これは1フォノンの動的構造因子 (3.3.9) の2つの $\delta$ 関数（エネルギー）と、格子の和が残す条件 $\bm{\kappa}=\pm\bm{k}_{\mathrm{ph}}+\bm{G}$（運動量）である。授業の形には強度が無く、この章の形はそれに4つの因子（$n_{\mathrm B}+1$ と $n_{\mathrm B}$、$(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_s)^2$、$1/\omega_s$、$\mathrm{e}^{-2W}$）と、原子が複数なら構造因子 $F_s$ を足したものである。Raman 散乱は「光子 $\hbar\omega_{\mathrm i}$ がフォノン $\hbar\Omega$ を作って $\hbar(\omega_{\mathrm i}-\Omega)$ になる」と習い、これは同じ式で $\bm{G}=\bm{0}$、$\lvert \bm{k}_{\mathrm{ph}}\rvert \approx0$ とした場合に当たる。光の側の選択則（分極率が変わるか）は、中性子の偏りの因子 $(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_s)^2$ に対応する「その振動が探り針と結合するか」の条件である。

分散関係：ピークの位置

$\bm{\kappa}$ 一定の走査で読んだピークの位置を Brillouin 域の対称な線に沿って並べると、分散関係 $\omega_s(\bm{k})$ が実験の点として得られる。これを第3部第1章のばねの模型の式に合わせると、ばね定数（力の定数）が決まる。最近接のばねだけで合わなければ、2番目・3番目の近接のばねを足す。何番目の近接まで要るかは、原子間の力の到達距離の目安になる。金属では伝導電子が遠くの原子まで力を伝えるので、遠くのばねが必要になることが多い。Brillouin 散乱の音速（原点の傾き）と、中性子の Brillouin 域の端の値の両方を1つの模型で再現できるかは、模型の良い検査になる。試料に静水圧 $P$ をかけて同じ測定を繰り返すと、分散関係が圧力でどう動くかが分かる。Raman 線（$\Gamma$ 点の光学の枝）や中性子のピーク（Brillouin 域の全域）の位置の移動 $\partial\ln\omega_s/\partial P$ に体積弾性率 $B_T=-V(\partial P/\partial V)_T$ を掛けると、体積の微分が圧力の微分に置き換わり、モードの Grüneisen 定数 $\gamma_s=-\partial\ln\omega_s/\partial\ln V=B_T\,\partial\ln\omega_s/\partial P$（第3部第2章）が出る。これをモードの比熱で重みをつけて平均すれば、Grüneisen の関係（第3部第2章）から熱膨張率が予言できる。熱膨張を直接測った値と比べることで、準調和近似を熱の測定とは独立に確かめることができる。

幅と強度

ピークの幅からは非調和性による寿命が分かり（3.3.5 節）、温度を変えて測ると、フォノンどうしの散乱の強さが分かる。強度の比からは、温度（Stokes と anti-Stokes の比）と偏りの向き（$\bm{\kappa}$ の向きを変えたときの変化）が分かる。式 (3.3.7) の和則は、測ったスペクトル全体の規格化を確かめる量になる。