出てくるもの3：2種類の原子の結晶で枝を見分ける

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第3部 第3章 §3.3.4　★★ 単位胞に原子が複数あると、1フォノン散乱にも「構造因子」が付く。測る Brillouin 域を選ぶと、音響と光学の枝を明るさで分けられる

1フォノンの構造因子

単位胞に原子が $r$ 個（位置 $\bm{d}_\nu$、質量 $m_\nu$、散乱長 $b_\nu$）ある結晶に、命題 3.3.1 を広げる。基準振動の変位を$\hat{\bm{u}}_{l\nu}\propto(\bm{e}_{\nu s}/\sqrt{m_\nu})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot(\bm{R}_l+\bm{d}_\nu)}$ の形に取ると（$\bm{e}_{\nu s}$ は質量で重みをつけた力の定数行列の固有ベクトルで、$\sum_\nu\lvert \bm{e}_{\nu s}\rvert ^2=1$）、同じ計算で、フォノンを作る側の1フォノン散乱は

$$\frac{\mathrm{d}^2\sigma}{\mathrm{d}\Omega\,\mathrm{d} E'}\bigg|_{\text{生成}}=\frac{k'}{k}\,N_{\mathrm c}\,\frac{\hbar}{2\omega_s}\,\lvert F_s(\bm{\kappa})\rvert ^2\bigl(n_{\mathrm B}+1\bigr)\delta(\hbar\omega-\hbar\omega_s),\qquad F_s(\bm{\kappa})\coloneqq\sum_\nu\frac{b_\nu\mathrm{e}^{-W_\nu}}{\sqrt{m_\nu}}\,(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_{\nu s})\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{d}_\nu}\tag{3.3.13}$$

になる（$N_{\mathrm c}$ は単位胞の数、$\bm{\kappa}=\bm{k}+\bm{G}$）。$F_s$ を1フォノンの構造因子と呼ぶ。原子が1種類なら $\lvert F_s\rvert ^2=b^2\mathrm{e}^{-2W}(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_s)^2/M$ で式 (3.3.9) に戻る。第1部第3章の構造因子 $S_{\bm{G}}=\sum_\nu s_\nu\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{d}_\nu}$ と比べると、各原子の振幅に「その原子がこの振動でどれだけ動くか」の重み $(\bm{\kappa}\cdot\bm{e}_{\nu s})/\sqrt{m_\nu}$ が掛かった形をしている。

$\Gamma$ 点の近くでは、音響の枝はすべての原子が同じ向きに動き（$\bm{e}_\nu\propto\sqrt{m_\nu}$）、$F$ は Bragg 反射の構造因子 $\sum_\nu b_\nu\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{d}_\nu}$ に比例する。したがって音響の枝は強い Bragg 反射の近くで明るく、Bragg 反射の弱い逆格子点の近くで暗い。光学の枝は原子が逆向きに動くので、$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{G}\cdot\bm{d}_\nu}$ の符号と組み合わさって、音響の枝と逆の逆格子点の近くで明るくなる。

図 3.3.3　2種類の原子（$m_2=2m_1$）を交互にばね定数 $K$ でつないだ列の分散関係（第3部第1章）。$a$ は単位胞の長さ。光の散乱は左端の帯（実際は Brillouin 域の $10^{-3}$ 程度）しか見ず、Brillouin 散乱は音響の枝の原点の傾きを、Raman 散乱は光学の枝の $\Gamma$ 点 $\sqrt{3K/m_1}$ を測る。中性子は全域を測る。

LO と TO

イオン結晶では、光学の振動で正負のイオンが逆向きに動くと分極ができ、縦波（LO）では分極が作る電場が復元力を足すので、横波（TO）より周波数が高くなる。赤外吸収と Raman 散乱で測る $\Gamma$ 点の値はこの2つで、比は静的と高周波の誘電率の比 $\omega_{\mathrm{LO}}^2/\omega_{\mathrm{TO}}^2=\varepsilon_{\mathrm r}(0)/\varepsilon_{\mathrm r}(\infty)$（Lyddane–Sachs–Teller の関係）で結ばれる。導出は光学応答の章（第4部第6章）で行う。ばねだけの模型には長距離の電場が入っていないので、図 3.3.3 は LO と TO を分けない。