相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第7章 §3.7.1 ★★★ 文字 x x x ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x D D D
第1部第6章（第1部第6章 ）では、古典の通信路を確率行列 W ( y ∣ x ) W(y\,|\,x) W ( y ∣ x ) C = max p I ( X ; Y ) C=\max_pI(X;Y) C = max p I ( X ; Y ) x x x ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x
受け手は届いた状態を測定して文字を推定する。測定の結果 y y y ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x W ( y ∣ x ) W(y\,|\,x) W ( y ∣ x ) I ( X ; Y ) I(X;Y) I ( X ; Y ) Holevo 量
χ ( { p x , ρ ^ x } ) = S ( ρ ˉ ) − ∑ x p x S ( ρ ^ x ) , ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x \chi(\{p_x,\hat\rho_x\})=S(\bar\rho)-\sum_xp_xS(\hat\rho_x),\qquad\bar\rho=\sum_xp_x\hat\rho_x χ ({ p x , ρ ^ x }) = S ( ρ ˉ ) − x ∑ p x S ( ρ ^ x ) , ρ ˉ = x ∑ p x ρ ^ x
である。この章で比べる2つの状態は、文字と量子状態が相関した古典量子状態 ρ ^ X B \hat\rho_{XB} ρ ^ X B ρ ^ X ⊗ ρ ^ B \hat\rho_X\otimes\hat\rho_B ρ ^ X ⊗ ρ ^ B 第3部第3章 ）で、測定は量子チャネルの1つなので、測定の後の古典の相互情報量は測定の前の χ \chi χ Holevo 限界 である。
出てくるものは3つある。第一に、d d d ln d \ln d ln d 第3部第6章 ）が1量子ビットで2ビットを送れることと矛盾しない理由も、ここで分かる。第二に、雑音のある量子チャネル N \mathcal N N D D D g ( n ˉ ) g(\bar n) g ( n ˉ )
この章の対数は自然対数で、情報量の単位は nat とする。ビットで述べる所だけ「ビット」と書く。量子ビットの Pauli 行列は X , Y , Z X,Y,Z X , Y , Z 1 \mathbf 1 1 h b ( p ) = − p ln p − ( 1 − p ) ln ( 1 − p ) h_{\mathrm b}(p)=-p\ln p-(1-p)\ln(1-p) h b ( p ) = − p ln p − ( 1 − p ) ln ( 1 − p ) S ( ρ ^ ) S(\hat\rho) S ( ρ ^ ) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) D(\hat\rho\,\|\,\hat\sigma) D ( ρ ^ ∥ σ ^ ) 第3部第2章 ）のものをそのまま使う。
量子状態に文字を載せる
送り手は文字の集合 X \mathcal X X x x x p x p_x p x B B B ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x { p x , ρ ^ x } \{p_x,\hat\rho_x\} { p x , ρ ^ x } アンサンブル と呼ぶ。受け手が文字を知らないとき、手元の状態は混合 ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x \bar\rho=\sum_xp_x\hat\rho_x ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x
受け手が行う測定は、一般には射影測定に限らない。結果 y y y E ^ y ≥ 0 \hat E_y\ge0 E ^ y ≥ 0 ∑ y E ^ y = 1 \sum_y\hat E_y=\mathbf 1 ∑ y E ^ y = 1 { E ^ y } \{\hat E_y\} { E ^ y } POVM （正作用素値測度）と呼び、状態 ρ ^ \hat\rho ρ ^ y y y Tr ( E ^ y ρ ^ ) \operatorname{Tr}(\hat E_y\hat\rho) Tr ( E ^ y ρ ^ ) E ^ y \hat E_y E ^ y E ^ y ≥ 0 \hat E_y\ge0 E ^ y ≥ 0 ∑ y E ^ y = 1 \sum_y\hat E_y=\mathbf 1 ∑ y E ^ y = 1 1 1 1
定義 3.7.1（測定が作る古典の通信路）
アンサンブル { p x , ρ ^ x } \{p_x,\hat\rho_x\} { p x , ρ ^ x } { E ^ y } \{\hat E_y\} { E ^ y }
W ( y ∣ x ) ≔ Tr ( E ^ y ρ ^ x ) (3.7.1) W(y\,|\,x)\coloneqq\operatorname{Tr}(\hat E_y\hat\rho_x)\tag{3.7.1} W ( y ∣ x ) : = Tr ( E ^ y ρ ^ x ) ( 3.7.1 )
は各 x x x y y y X X X Y Y Y I ( X ; Y ) I(X;Y) I ( X ; Y )
I a c c ( { p x , ρ ^ x } ) ≔ sup { E ^ y } I ( X ; Y ) (3.7.2) I_{\mathrm{acc}}(\{p_x,\hat\rho_x\})\coloneqq\sup_{\{\hat E_y\}}I(X;Y)\tag{3.7.2} I acc ({ p x , ρ ^ x }) : = { E ^ y } sup I ( X ; Y ) ( 3.7.2 )
を取り出せる情報 （accessible information）と呼ぶ。
ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x x x x I ( X ; Y ) = H ( p ) I(X;Y)=H(p) I ( X ; Y ) = H ( p ) x x x I a c c I_{\mathrm{acc}} I acc
古典量子状態
文字 x x x { ∣ x ⟩ } \{| x \rangle \} { ∣ x ⟩} X X X
ρ ^ X B ≔ ∑ x p x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ρ ^ x (3.7.3) \hat\rho_{XB}\coloneqq\sum_xp_x\,| x \rangle \langle x |\otimes\hat\rho_x\tag{3.7.3} ρ ^ X B : = x ∑ p x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ρ ^ x ( 3.7.3 )
で表せる。X X X X X X 古典量子状態 （cq 状態）と呼ぶ。部分トレースは ρ ^ X = ∑ x p x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ \hat\rho_X=\sum_xp_x| x \rangle \langle x | ρ ^ X = ∑ x p x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ρ ^ B = ρ ˉ \hat\rho_B=\bar\rho ρ ^ B = ρ ˉ
比べる相手は、文字と状態を独立とみなした積状態 ρ ^ X ⊗ ρ ^ B = ∑ x p x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ρ ˉ \hat\rho_X\otimes\hat\rho_B=\sum_xp_x| x \rangle \langle x |\otimes\bar\rho ρ ^ X ⊗ ρ ^ B = ∑ x p x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ρ ˉ
命題 3.7.2（Holevo 量は cq 状態の相互情報量）
cq 状態 (3.7.3) について
I ( X ; B ) ρ = D ( ρ ^ X B ∥ ρ ^ X ⊗ ρ ^ B ) = ∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) = S ( ρ ˉ ) − ∑ x p x S ( ρ ^ x ) = χ ( { p x , ρ ^ x } ) . (3.7.4) I(X;B)_{\rho}=D(\hat\rho_{XB}\,\|\,\hat\rho_X\otimes\hat\rho_B)=\sum_xp_x\,D(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho)=S(\bar\rho)-\sum_xp_xS(\hat\rho_x)=\chi(\{p_x,\hat\rho_x\}).\tag{3.7.4} I ( X ; B ) ρ = D ( ρ ^ X B ∥ ρ ^ X ⊗ ρ ^ B ) = x ∑ p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) = S ( ρ ˉ ) − x ∑ p x S ( ρ ^ x ) = χ ({ p x , ρ ^ x }) . ( 3.7.4 )
証明 2つの状態はどちらも X X X ∑ x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ A ^ x \sum_x| x \rangle \langle x |\otimes\hat A_x ∑ x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ A ^ x ln ( ρ ^ X B ) = ∑ x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ( ln p x 1 + ln ρ ^ x ) \ln(\hat\rho_{XB})=\sum_x| x \rangle \langle x |\otimes(\ln p_x\,\mathbf 1+\ln\hat\rho_x) ln ( ρ ^ X B ) = ∑ x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ( ln p x 1 + ln ρ ^ x ) ln ( ρ ^ X ⊗ ρ ^ B ) = ∑ x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ( ln p x 1 + ln ρ ˉ ) \ln(\hat\rho_X\otimes\hat\rho_B)=\sum_x| x \rangle \langle x |\otimes(\ln p_x\,\mathbf 1+\ln\bar\rho) ln ( ρ ^ X ⊗ ρ ^ B ) = ∑ x ∣ x ⟩ ⟨ x ∣ ⊗ ( ln p x 1 + ln ρ ˉ ) p x > 0 p_x>0 p x > 0 ρ ^ X B \hat\rho_{XB} ρ ^ X B ln p x \ln p_x ln p x ∑ x p x Tr ρ ^ x ( ln ρ ^ x − ln ρ ˉ ) = ∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) \sum_xp_x\operatorname{Tr}\hat\rho_x(\ln\hat\rho_x-\ln\bar\rho)=\sum_xp_xD(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho) ∑ x p x Tr ρ ^ x ( ln ρ ^ x − ln ρ ˉ ) = ∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) − Tr ρ ^ x ln ρ ˉ -\operatorname{Tr}\hat\rho_x\ln\bar\rho − Tr ρ ^ x ln ρ ˉ x x x − Tr ρ ˉ ln ρ ˉ = S ( ρ ˉ ) -\operatorname{Tr}\bar\rho\ln\bar\rho=S(\bar\rho) − Tr ρ ˉ ln ρ ˉ = S ( ρ ˉ )
古典の第1部第3章では、相互情報量を結合分布と周辺の積の D D D (3.7.4) はその量子版で、古典の確率変数 X X X B B B I ( p , W ) = ∑ x p ( x ) D ( W x ∥ p W ) I(p,W)=\sum_xp(x)D(W_x\,\|\,pW) I ( p , W ) = ∑ x p ( x ) D ( W x ∥ p W ) D D D W x W_x W x ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x p W pW p W ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ
例題 3.7.1 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩
オリジナル 文字 x ∈ { 0 , 1 } x\in\{0,1\} x ∈ { 0 , 1 } 1 / 2 1/2 1/2 x = 0 x=0 x = 0 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ x = 1 x=1 x = 1 ∣ + ⟩ = ( ∣ 0 ⟩ + ∣ 1 ⟩ ) / 2 | + \rangle =(| 0 \rangle +| 1 \rangle )/\sqrt2 ∣ + ⟩ = ( ∣0 ⟩ + ∣1 ⟩) / 2
cq 状態 ρ ^ X B \hat\rho_{XB} ρ ^ X B S ( X B ) S(XB) S ( X B )
S ( X ) S(X) S ( X ) S ( B ) S(B) S ( B ) I ( X ; B ) = S ( X ) + S ( B ) − S ( X B ) I(X;B)=S(X)+S(B)-S(XB) I ( X ; B ) = S ( X ) + S ( B ) − S ( X B ) χ \chi χ D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) D(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho) D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) x = 0 , 1 x=0,1 x = 0 , 1 χ \chi χ
解答 (1) ρ ^ X B = 1 2 ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ ⊗ ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + 1 2 ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ ⊗ ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ \hat\rho_{XB}=\frac12| 0 \rangle \langle 0 |\otimes| 0 \rangle \langle 0 |+\frac12| 1 \rangle \langle 1 |\otimes| + \rangle \langle + | ρ ^ X B = 2 1 ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ ⊗ ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + 2 1 ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ ⊗ ∣ + ⟩ ⟨ + ∣ 1 / 2 1/2 1/2 ( 1 / 2 , 1 / 2 , 0 , 0 ) (1/2,1/2,0,0) ( 1/2 , 1/2 , 0 , 0 ) S ( X B ) = ln 2 S(XB)=\ln2 S ( X B ) = ln 2
(2) S ( X ) = ln 2 S(X)=\ln2 S ( X ) = ln 2 ρ ^ B = ρ ˉ = 1 2 ( 1 + 1 2 X + 1 2 Z ) \hat\rho_B=\bar\rho=\frac12(\mathbf 1+\frac12X+\frac12Z) ρ ^ B = ρ ˉ = 2 1 ( 1 + 2 1 X + 2 1 Z ) 1 2 ( 1 ± 1 / 2 ) = 0.8536 , 0.1464 \frac12(1\pm1/\sqrt2)=0.8536,\ 0.1464 2 1 ( 1 ± 1/ 2 ) = 0.8536 , 0.1464 S ( B ) = 0.4165 S(B)=0.4165 S ( B ) = 0.4165 I ( X ; B ) = ln 2 + 0.4165 − ln 2 = 0.4165 I(X;B)=\ln2+0.4165-\ln2=0.4165 I ( X ; B ) = ln 2 + 0.4165 − ln 2 = 0.4165 S ( ρ ^ x ) = 0 S(\hat\rho_x)=0 S ( ρ ^ x ) = 0 χ = S ( ρ ˉ ) = 0.4165 \chi=S(\bar\rho)=0.4165 χ = S ( ρ ˉ ) = 0.4165
(3) 純粋状態 ∣ ψ ⟩ | \psi \rangle ∣ ψ ⟩ D ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ∥ ρ ˉ ) = − ⟨ ψ ∣ ln ρ ˉ ∣ ψ ⟩ D(| \psi \rangle \langle \psi |\,\|\,\bar\rho)=-\langle \psi | \ln\bar\rho | \psi \rangle D ( ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ∥ ρ ˉ ) = − ⟨ ψ ∣ ln ρ ˉ ∣ ψ ⟩ ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ ( X + Z ) / 2 (X+Z)/\sqrt2 ( X + Z ) / 2 ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ ∣ 0 ⟩ | 0 \rangle ∣0 ⟩ ∣ + ⟩ | + \rangle ∣ + ⟩ π / 4 \pi/4 π /4 cos 2 ( π / 8 ) = 0.8536 \cos^2(\pi/8)=0.8536 cos 2 ( π /8 ) = 0.8536 0.1464 0.1464 0.1464 D = − ( 0.8536 ln 0.8536 + 0.1464 ln 0.1464 ) = 0.4165 D=-(0.8536\ln0.8536+0.1464\ln0.1464)=0.4165 D = − ( 0.8536 ln 0.8536 + 0.1464 ln 0.1464 ) = 0.4165 x = 0 , 1 x=0,1 x = 0 , 1 0.4165 0.4165 0.4165 χ \chi χ ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
