この章のまとめ

(1) Schmidt 係数は $(c^2,1-c^2)=(0.8536,0.1464)$。$S(A)=h_{\mathrm b}(0.8536)=0.4165$ nat。全体は純粋なので $S(AB)=0$、$S(A\,|\,B)=-S(B)=-0.4165$ nat、$I(A;B)=2S(A)=0.8330$ nat。条件付きエントロピーが負なので、超高密度符号で得をする。

(2) 定理 3.6.4 から $C=\ln2+S(B)-S(AB)=0.6931+0.4165=1.1096$ nat $=1.6009$ ビット。もつれを使わない1ビットより $0.6009$ ビット多い。この得は $-S(A\,|\,B)/\ln2$ ビットで、ちょうど $S(A)$ を ebit で数えた値に等しい。Bob が受け取る系は4次元なので Holevo 限界は2ビットで、$| \Phi^+ \rangle$ に比べて $0.40$ ビット少ない。

(3) $\langle \Phi^+ | \psi_\theta \rangle =(\cos\theta+\sin\theta)/\sqrt2$ なので $F=(1+\sin2\theta)/2=(1+1/\sqrt2)/2=0.8536$。この手続きの平均忠実度は一般の共有状態でも $f=(2F+1)/3$ なので $f=(2+\sin2\theta)/3=0.9024$。古典の上限 $2/3$ を $0.236$ 上回るが、$1$ には届かない。

(4) 純粋状態の濃縮の割合は、1組あたり $S(A)$ を ebit で数えた値 $0.4165/0.6931=0.6009$ ebit である。$n=1000$ 組からおよそ $601$ 組の $| \Phi^+ \rangle$ が得られる（$n$ が大きい極限での割合で、有限の $n$ では少し下回る）。それぞれで1個ずつテレポーテーションできるので、誤りなく移せる量子ビットはおよそ $601$ 個、要る古典ビットはその2倍のおよそ $1202$ 個である。(3) では1組ごとに忠実度 $0.90$ で移したのに対し、ここでは数を $0.60$ 倍に減らす代わりに誤りをなくしている。

(5) $\hat\rho=| \psi_\theta \rangle \langle \psi_\theta |$ で計算すると、$\operatorname{Tr}\hat\rho(X\otimes X)=2\cos\theta\sin\theta=\sin2\theta$、$\operatorname{Tr}\hat\rho(Y\otimes Y)=-\sin2\theta$、$\operatorname{Tr}\hat\rho(Z\otimes Z)=1$ で、非対角の成分は $0$。$T=\mathrm{diag}(\sin2\theta,-\sin2\theta,1)$ なので $T^{\mathsf T}T$ の固有値は $1,\sin^22\theta,\sin^22\theta$ で、最大値は $2\sqrt{1+\sin^22\theta}=2\sqrt{1.5}=2.449$ で、上限 $2$ を超える。(2)〜(5) の4つの使い道のどれでも、この対は積状態を上回るが、上回る程度は使い道ごとに別の量（$-S(A\,|\,B)$、一重項の割合、濃縮の割合、相関行列）で決まる。