相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第6章 §3.6.3 ★★★ Bell 状態の対を使うと量子ビット1個で2ビット送れる。一般の共有状態では、送れる古典情報量の上限が D ( ρ ^ A B ∥ π ^ A ⊗ ρ ^ B ) D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\hat\pi_A\otimes\hat\rho_B) D ( ρ ^ A B ∥ π ^ A ⊗ ρ ^ B )
手続き
超高密度符号は C. H. Bennett と S. J. Wiesner が提案した1 1 C. H. Bennett and S. J. Wiesner (1992), Physical Review Letters 69 , 2881–2884。∣ Φ + ⟩ A B | \Phi^+ \rangle _{AB} ∣ Φ + ⟩ A B x = ( x 1 , x 2 ) ∈ { 0 , 1 } 2 x=(x_1,x_2)\in\{0,1\}^2 x = ( x 1 , x 2 ) ∈ { 0 , 1 } 2 A A A 1 \mathbf 1 1 X X X Z Z Z X Z XZ X Z A A A (3.6.4) から、Bob の手元の2量子ビットは ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ ∣ Ψ + ⟩ | \Psi^+ \rangle ∣ Ψ + ⟩ ∣ Φ − ⟩ | \Phi^- \rangle ∣ Φ − ⟩ − ∣ Ψ − ⟩ -| \Psi^- \rangle − ∣ Ψ − ⟩
資源の勘定は、送った量子ビットが1個、消費した ebit が1組で、伝わった古典ビットが2個である。式 (3.6.2) の左の式がこれである。2節の Holevo 限界から、Bob が受け取った系の次元は 4 4 4
一般の共有状態で送れる情報量
共有した状態が ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B A A A U ^ x \hat U_x U ^ x A A A ρ ^ x = ( U ^ x ⊗ 1 ) ρ ^ A B ( U ^ x ⊗ 1 ) † \hat\rho_x=(\hat U_x\otimes\mathbf 1)\hat\rho_{AB}(\hat U_x\otimes\mathbf 1)^\dagger ρ ^ x = ( U ^ x ⊗ 1 ) ρ ^ A B ( U ^ x ⊗ 1 ) † χ ( { p x , ρ ^ x } ) \chi(\{p_x,\hat\rho_x\}) χ ({ p x , ρ ^ x }) { p x , U ^ x } \{p_x,\hat U_x\} { p x , U ^ x } C ( ρ ^ A B ) C(\hat\rho_{AB}) C ( ρ ^ A B )
定理 3.6.4（超高密度符号の情報量 ★★★）
Alice の側の次元を d A d_A d A
C ( ρ ^ A B ) = max { p x , U ^ x } χ = D ( ρ ^ A B ∥ π ^ A ⊗ ρ ^ B ) = ln d A + S ( B ) − S ( A B ) . (3.6.10) C(\hat\rho_{AB})=\max_{\{p_x,\hat U_x\}}\chi=D(\hat\rho_{AB}\,\|\,\hat\pi_A\otimes\hat\rho_B)=\ln d_A+S(B)-S(AB).\tag{3.6.10} C ( ρ ^ A B ) = { p x , U ^ x } max χ = D ( ρ ^ A B ∥ π ^ A ⊗ ρ ^ B ) = ln d A + S ( B ) − S ( A B ) . ( 3.6.10 )
証明 上界：ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x ρ ^ A B \hat\rho_{AB} ρ ^ A B S ( ρ ^ x ) = S ( A B ) S(\hat\rho_x)=S(AB) S ( ρ ^ x ) = S ( A B ) ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x \bar\rho=\sum_xp_x\hat\rho_x ρ ˉ = ∑ x p x ρ ^ x B B B 3.6.2 から ρ ^ B \hat\rho_B ρ ^ B 第3部第2章 ）と S ( ρ ˉ A ) ≤ ln d A S(\bar\rho_A)\le\ln d_A S ( ρ ˉ A ) ≤ ln d A S ( ρ ˉ ) ≤ S ( ρ ˉ A ) + S ( ρ ^ B ) ≤ ln d A + S ( B ) S(\bar\rho)\le S(\bar\rho_A)+S(\hat\rho_B)\le\ln d_A+S(B) S ( ρ ˉ ) ≤ S ( ρ ˉ A ) + S ( ρ ^ B ) ≤ ln d A + S ( B ) χ = S ( ρ ˉ ) − S ( A B ) ≤ ln d A + S ( B ) − S ( A B ) \chi=S(\bar\rho)-S(AB)\le\ln d_A+S(B)-S(AB) χ = S ( ρ ˉ ) − S ( A B ) ≤ ln d A + S ( B ) − S ( A B )
到達：量子ビット（d A = 2 d_A=2 d A = 2 1 \mathbf 1 1 X X X Y Y Y Z Z Z 1 / 4 1/4 1/4 2 × 2 2\times2 2 × 2 M M M
1 4 ( M + X M X + Y M Y + Z M Z ) = Tr M 2 1 (3.6.11) \frac14\bigl(M+XMX+YMY+ZMZ\bigr)=\frac{\operatorname{Tr} M}{2}\,\mathbf 1\tag{3.6.11} 4 1 ( M + X M X + Y M Y + Z M Z ) = 2 Tr M 1 ( 3.6.11 )
が成り立つ（M M M 1 , X , Y , Z \mathbf 1,X,Y,Z 1 , X , Y , Z 1 \mathbf 1 1 A A A ρ ˉ = π ^ A ⊗ ρ ^ B \bar\rho=\hat\pi_A\otimes\hat\rho_B ρ ˉ = π ^ A ⊗ ρ ^ B S ( ρ ˉ ) = ln 2 + S ( B ) S(\bar\rho)=\ln2+S(B) S ( ρ ˉ ) = ln 2 + S ( B ) d A d_A d A X X X Z Z Z d A d_A d A ∣ k ⟩ ↦ ∣ k + 1 ⟩ | k \rangle \mapsto| k+1 \rangle ∣ k ⟩ ↦ ∣ k + 1 ⟩ ∣ k ⟩ ↦ e 2 π i k / d A ∣ k ⟩ | k \rangle \mapsto\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i} k/d_A}| k \rangle ∣ k ⟩ ↦ e 2 π i k / d A ∣ k ⟩ d A 2 d_A^2 d A 2 3.6.1 である。
ただし、C ( ρ ^ A B ) C(\hat\rho_{AB}) C ( ρ ^ A B ) ln d A \ln d_A ln d A d A d_A d A ln d A \ln d_A ln d A
max { C ( ρ ^ A B ) , ln d A } − ln d A = max { 0 , − S ( A ∣ B ) } (3.6.12) \max\{C(\hat\rho_{AB}),\ln d_A\}-\ln d_A=\max\{0,\,-S(A\,|\,B)\}\tag{3.6.12} max { C ( ρ ^ A B ) , ln d A } − ln d A = max { 0 , − S ( A ∣ B )} ( 3.6.12 )
である。超高密度符号で得をするのは条件付きエントロピーが負の状態だけで、得の大きさは − S ( A ∣ B ) -S(A\,|\,B) − S ( A ∣ B ) 2 2 T. Hiroshima (2001), Journal of Physics A 34 , 6907–6912。
比べる相手 π ^ A ⊗ ρ ^ B \hat\pi_A\otimes\hat\rho_B π ^ A ⊗ ρ ^ B ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ (3.6.10) の相対エントロピーは「符号化した後の1つの状態 ρ ^ x \hat\rho_x ρ ^ x ρ ˉ \bar\rho ρ ˉ χ = ∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ ) \chi=\sum_xp_xD(\hat\rho_x\,\|\,\bar\rho) χ = ∑ x p x D ( ρ ^ x ∥ ρ ˉ )
Werner 状態での情報量
雑音の例として、第3部第2章の Werner 状態
ρ ^ p = p ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ( 1 − p ) 1 4 ( 0 ≤ p ≤ 1 ) (3.6.13) \hat\rho_p=p| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |+(1-p)\frac{\mathbf 1}{4}\qquad(0\le p\le1)\tag{3.6.13} ρ ^ p = p ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ( 1 − p ) 4 1 ( 0 ≤ p ≤ 1 ) ( 3.6.13 )
をとる。固有値は ( 1 + 3 p ) / 4 (1+3p)/4 ( 1 + 3 p ) /4 ( 1 − p ) / 4 (1-p)/4 ( 1 − p ) /4 ρ ^ B = 1 / 2 \hat\rho_B=\mathbf 1/2 ρ ^ B = 1 /2 p p p (3.6.10) から
C ( ρ ^ p ) = 2 ln 2 − S ( ρ ^ p ) . (3.6.14) C(\hat\rho_p)=2\ln2-S(\hat\rho_p).\tag{3.6.14} C ( ρ ^ p ) = 2 ln 2 − S ( ρ ^ p ) . ( 3.6.14 )
C ( ρ ^ p ) > ln 2 C(\hat\rho_p)>\ln2 C ( ρ ^ p ) > ln 2 S ( ρ ^ p ) < ln 2 S(\hat\rho_p)<\ln2 S ( ρ ^ p ) < ln 2 S ( A ∣ B ) < 0 S(A\,|\,B)<0 S ( A ∣ B ) < 0 p > p ∗ = 0.7476 p>p_*=0.7476 p > p ∗ = 0.7476 ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ F = ( 1 + 3 p ) / 4 > 0.8107 F=(1+3p)/4>0.8107 F = ( 1 + 3 p ) /4 > 0.8107 p > 1 / 3 p>1/3 p > 1/3 1 / 3 < p < 0.7476 1/3<p<0.7476 1/3 < p < 0.7476 3.6.1 にこの様子を示す。
図 3.6.1 Werner 状態 ρ ^ p \hat\rho_p ρ ^ p C ( ρ ^ p ) = 2 ln 2 − S ( ρ ^ p ) C(\hat\rho_p)=2\ln2-S(\hat\rho_p) C ( ρ ^ p ) = 2 ln 2 − S ( ρ ^ p ) p > 1 / 3 p>1/3 p > 1/3 p > p ∗ = 0.748 p>p_*=0.748 p > p ∗ = 0.748 S ( A ∣ B ) < 0 S(A\,|\,B)<0 S ( A ∣ B ) < 0
例題 3.6.3 雑音のある対での超高密度符号 ★★
オリジナル Werner 状態 ρ ^ p \hat\rho_p ρ ^ p
p = 0.9 p=0.9 p = 0.9 S ( ρ ^ p ) S(\hat\rho_p) S ( ρ ^ p ) C ( ρ ^ p ) C(\hat\rho_p) C ( ρ ^ p ) 式 (3.6.11) を使って、p = 0.9 p=0.9 p = 0.9 π ^ A ⊗ ρ ^ B \hat\pi_A\otimes\hat\rho_B π ^ A ⊗ ρ ^ B
p = 0.5 p=0.5 p = 0.5
解答 (1) 固有値は ( 1 + 2.7 ) / 4 = 0.925 (1+2.7)/4=0.925 ( 1 + 2.7 ) /4 = 0.925 0.025 0.025 0.025 S = − 0.925 ln 0.925 − 3 × 0.025 ln 0.025 = 0.0721 + 0.2767 = 0.3488 S=-0.925\ln0.925-3\times0.025\ln0.025=0.0721+0.2767=0.3488 S = − 0.925 ln 0.925 − 3 × 0.025 ln 0.025 = 0.0721 + 0.2767 = 0.3488 C = 2 ln 2 − S = 1.3863 − 0.3488 = 1.0375 C=2\ln2-S=1.3863-0.3488=1.0375 C = 2 ln 2 − S = 1.3863 − 0.3488 = 1.0375 = 1.4968 =1.4968 = 1.4968 0.4968 0.4968 0.4968 − S ( A ∣ B ) = ln 2 − S ( ρ ^ p ) = 0.3444 -S(A\,|\,B)=\ln2-S(\hat\rho_p)=0.3444 − S ( A ∣ B ) = ln 2 − S ( ρ ^ p ) = 0.3444
(2) ρ ^ p \hat\rho_p ρ ^ p ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ | \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ | ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ 1 / 4 \mathbf 1/4 1 /4 A A A (3.6.11) を当てると、1 / 4 \mathbf 1/4 1 /4 ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ | \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ | ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ 1 4 ∑ σ ( σ ⊗ 1 ) ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ ( σ ⊗ 1 ) † = 1 4 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ + ∣ Ψ − ⟩ ⟨ Ψ − ∣ + ∣ Φ − ⟩ ⟨ Φ − ∣ ) = 1 / 4 \frac14\sum_{\sigma}(\sigma\otimes\mathbf 1)| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |(\sigma\otimes\mathbf 1)^\dagger=\frac14(| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |+| \Psi^+ \rangle \langle \Psi^+ |+| \Psi^- \rangle \langle \Psi^- |+| \Phi^- \rangle \langle \Phi^- |)=\mathbf 1/4 4 1 ∑ σ ( σ ⊗ 1 ) ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ ( σ ⊗ 1 ) † = 4 1 ( ∣ Φ + ⟩ ⟨ Φ + ∣ + ∣ Ψ + ⟩ ⟨ Ψ + ∣ + ∣ Ψ − ⟩ ⟨ Ψ − ∣ + ∣ Φ − ⟩ ⟨ Φ − ∣ ) = 1 /4 Y = i X Z Y=\mathrm{i} XZ Y = i X Z ( Y ⊗ 1 ) ∣ Φ + ⟩ (Y\otimes\mathbf 1)| \Phi^+ \rangle ( Y ⊗ 1 ) ∣ Φ + ⟩ ∣ Ψ − ⟩ | \Psi^- \rangle ∣ Ψ − ⟩ 1 / 4 = π ^ A ⊗ ρ ^ B \mathbf 1/4=\hat\pi_A\otimes\hat\rho_B 1 /4 = π ^ A ⊗ ρ ^ B S ( ρ ˉ ) = 2 ln 2 S(\bar\rho)=2\ln2 S ( ρ ˉ ) = 2 ln 2 χ = 2 ln 2 − S ( ρ ^ p ) \chi=2\ln2-S(\hat\rho_p) χ = 2 ln 2 − S ( ρ ^ p )
(3) p = 0.5 p=0.5 p = 0.5 0.625 0.625 0.625 0.125 0.125 0.125 S ( ρ ^ p ) = 1.0736 S(\hat\rho_p)=1.0736 S ( ρ ^ p ) = 1.0736 > ln 2 >\ln2 > ln 2 C = 0.3127 C=0.3127 C = 0.3127 = 0.4512 =0.4512 = 0.4512 p = 0.5 > 1 / 3 p=0.5>1/3 p = 0.5 > 1/3
1 C. H. Bennett and S. J. Wiesner (1992), Physical Review Letters 69 , 2881–2884。
2 T. Hiroshima (2001), Journal of Physics A 34 , 6907–6912。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
