出てくるもの（3）：雑音のある対と古典の限界

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第6章 §3.6.5　★★ Werner 状態でテレポーテーションすると平均忠実度は $(2F+1)/3$。古典の手続きの上限 $2/3$ を超える条件 $F>1/2$ はもつれの条件と一致し、超高密度符号の条件より緩い

平均忠実度

共有した対が雑音で汚れていると、テレポーテーションは誤りなく行えない。出力の良さを測るために、入力 $| \psi \rangle$ を Bloch 球の上で一様に選んだときの平均忠実度

$$f=\int\mathrm{d}\psi\,\langle \psi | \Lambda(| \psi \rangle \langle \psi |) | \psi \rangle\tag{3.6.17}$$

を使う。$\Lambda$ は入力から Bob の補正後の出力への写像で、$\mathrm{d}\psi$ は Bloch 球上の一様な測度（面積を $1$ に規格化）である。

Werner 状態 $\hat\rho_p$ を共有して、4節と同じ手続き（Bell 測定と Pauli の補正）を行う。手続きは共有した状態について線形なので、$\hat\rho_p$ の2つの項を別々に追えばよい。$| \Phi^+ \rangle$ の項（重み $p$）からは入力どおり $| \psi \rangle \langle \psi |$ が出る。$\mathbf 1/4=\frac{\mathbf 1}{2}\otimes\frac{\mathbf 1}{2}$ の項（重み $1-p$）では、Bob の手元は初めから $\mathbf 1/2$ で、Alice の測定と Bob の Pauli の補正の後も、式 (3.6.11) から $\mathbf 1/2$ のままである。したがって

$$\Lambda(| \psi \rangle \langle \psi |)=p| \psi \rangle \langle \psi |+(1-p)\frac{\mathbf 1}{2},\qquad f=p+\frac{1-p}{2}=\frac{1+p}{2}=\frac{2F+1}{3}\tag{3.6.18}$$

となる。ここで $F=\langle \Phi^+ | \hat\rho_p | \Phi^+ \rangle =(1+3p)/4$ は共有した状態と $| \Phi^+ \rangle$ の重なりで、一重項の割合（singlet fraction）と呼ぶ。一般の共有状態 $\hat\rho_{AB}$ でも、この手続きの平均忠実度は $f=(2F+1)/3$（$F=\langle \Phi^+ | \hat\rho_{AB} | \Phi^+ \rangle$）になる¹1M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1999), Physical Review A 60, 1888–1898。$d$ 次元では $f=(dF+1)/(d+1)$。同論文は、Alice と Bob が測定の前に局所操作と古典通信で対を加工してよいとき、最適な平均忠実度が、加工で到達できる $F$ の最大値で同じ式で決まることも示している。下の脚注へ閉じる。

古典の手続きの上限

もつれを使わない手続きと比べる。Alice が入力を測り、結果を古典ビットで送り、Bob がそれに応じた状態を作る手続き（測って作り直す手続き）では、量子状態1個の測定から得られる情報が限られるので、忠実度は $1$ に届かない。Alice が $Z$ 基底で測り、結果 $0$ なら $| 0 \rangle$、$1$ なら $| 1 \rangle$ を Bob が作るとする。Bloch 球の北極からの角度 $\vartheta$ の入力に対して、結果 $0$ の確率は $\cos^2(\vartheta/2)$ でそのときの忠実度も $\cos^2(\vartheta/2)$、結果 $1$ の確率と忠実度はどちらも $\sin^2(\vartheta/2)$ なので、

$$f_{\mathrm{cl}}=\int_0^\pi\Bigl[\cos^4\frac\vartheta2+\sin^4\frac\vartheta2\Bigr]\frac{\sin\vartheta\,\mathrm{d}\vartheta}{2}=\frac23 .\tag{3.6.19}$$

$u=\cos\vartheta$ と置くと $\cos^4(\vartheta/2)+\sin^4(\vartheta/2)=(1+u^2)/2$ で、$\int_{-1}^1(1+u^2)/4\,\mathrm{d} u=2/3$ となる。測り方や作り直し方をどう工夫しても、量子状態1個からの測って作り直す手続きの平均忠実度は $2/3$ を超えないことが S. Massar と S. Popescu によって示されている²2S. Massar and S. Popescu (1995), Physical Review Letters 74, 1259–1263。下の脚注へ閉じる。古典ビットをいくら送っても、Alice が1回の測定で得た情報しか Bob に渡らないからである。

得をする条件は手続きによって違う

式 (3.6.18) から、Werner 状態でのテレポーテーションが古典の上限 $2/3$ を超えるのは $F>1/2$、すなわち $p>1/3$ のときである。これは Werner 状態がもつれている条件（部分転置が負の固有値を持つ条件。第3部第4章）とちょうど一致する。第3部第4章で求めた相対エントロピーで測ったもつれ

$$E_R(\hat\rho_p)=\min_{\hat\sigma\,\text{分離可能}}D(\hat\rho_p\,\|\,\hat\sigma)=\ln2-h_{\mathrm b}(F)\qquad(F\ge1/2)\tag{3.6.20}$$

も $F=1/2$ で $0$ になり、それより上で正になる。テレポーテーションでは、もつれていさえすれば Werner 状態は役に立つ。

一方、3節の超高密度符号で得をする条件は $S(A\,|\,B)<0$、すなわち $p>0.748$ だった。図 3.6.2 に2つの手続きを並べる。同じ Werner 状態でも、$1/3<p<0.748$ の範囲では、テレポーテーションには役に立つが超高密度符号には役に立たない。もつれの量を1つの数で表しても、その数だけでは「どの手続きに役立つか」は決まらない。超高密度符号に必要な量は条件付きエントロピー（$\hat\pi_A\otimes\hat\rho_B$ との $D$）、テレポーテーションに必要な量は一重項の割合 $F$（ここでは分離可能な状態の集合との $D$ と同じ境目を持つ）で、2つは別の量である。

1　M. Horodecki, P. Horodecki and R. Horodecki (1999), Physical Review A 60, 1888–1898。$d$ 次元では $f=(dF+1)/(d+1)$。同論文は、Alice と Bob が測定の前に局所操作と古典通信で対を加工してよいとき、最適な平均忠実度が、加工で到達できる $F$ の最大値で同じ式で決まることも示している。

2　S. Massar and S. Popescu (1995), Physical Review Letters 74, 1259–1263。