授業で習った形との対応

相対エントロピーから情報と物理を組み立てる　第3部 第6章 §3.6.6　★★ 量子計算の授業ではテレポーテーションを CNOT・Hadamard・測定・条件つき Pauli の回路で書く。Bell 測定は CNOT と H で計算基底の測定に直したものである

回路の形

量子計算・量子情報の授業では、テレポーテーションを図 3.6.3 の回路で書くことが多い。Bell 基底での測定は、そのままでは実験装置の言葉にならないので、2量子ビットのゲート CNOT（制御が $1$ のとき標的を反転する）と Hadamard ゲート $H=(X+Z)/\sqrt2$ で Bell 基底を計算基底に回してから、計算基底で測る。CNOT（制御 $C$、標的 $A$）と $C$ への $H$ を順に当てると、Bell 状態は

$$| \Phi^+ \rangle \mapsto| 00 \rangle ,\quad| \Psi^+ \rangle \mapsto| 01 \rangle ,\quad| \Phi^- \rangle \mapsto| 10 \rangle ,\quad| \Psi^- \rangle \mapsto| 11 \rangle\tag{3.6.21}$$

に移る（左が $C$ の結果 $m_1$、右が $A$ の結果 $m_2$）。$m_1$ は Bell 状態の符号（$\Phi^+$ と $\Phi^-$ の区別）、$m_2$ は $\Phi$ と $\Psi$ の区別を表す。この章の補正 $\mathbf 1,Z,X,ZX$ は、測定結果を使って $Z^{m_1}X^{m_2}$（$X^{m_2}$ を先に当てる）と書ける。授業の回路で見る「$m_2$ で $X$、$m_1$ で $Z$」の補正はこれである。

図 3.6.3　テレポーテーションの回路。左から CNOT（制御 $C$、標的 $A$）、$C$ への Hadamard、$C$ と $A$ の計算基底での測定（結果 $m_1,m_2$）、二重線で表した古典ビットによる条件つきの $X^{m_2}$ と $Z^{m_1}$。

回路の形には、測定を最後に回す書き換えもある。Alice の測定の代わりに、制御 $X$（制御 $A$、標的 $B$）と制御 $Z$（制御 $C$、標的 $B$）を量子のまま当てても、$B$ に $| \psi \rangle$ が現れる（遅延測定の原理）。この形では、条件つきの補正が2量子ビットのゲートに置き換わり、古典ビットの送信が見えなくなる。ただしこの形は $C$ と $A$ から $B$ への量子の相互作用を使うので、離れた2人の間の手続きとしては意味が変わり、資源の勘定では古典ビット2個の代わりに量子の通信を使ったことになる。

密度行列と資源の言葉との対応

授業では、テレポーテーションを状態ベクトルの書き換え式 (3.6.15) で説明して終わることが多い。この章の言葉と並べると次のようになる。状態ベクトルで「4つの結果が確率 $1/4$ ずつ出る」と言っていることは、密度行列では「結果を知らない Bob の状態は $\mathbf 1/2$」（式 (3.6.16)）に当たり、情報の言葉では「Alice の結果と入力の相互情報量は $0$」に当たる。「古典ビット2個を送る」ことの必要性は、状態ベクトルの書き換えからは出てこず、定理 3.6.5 の情報の議論が要る。

超高密度符号は、授業では「Bell 基底の4状態が直交する」ことで説明される。この章の式 (3.6.10) は、それを一般の混合状態へ広げて、送れる情報量を相対エントロピーで書いたものである。純粋な $| \Phi^+ \rangle$ では $D(| \Phi^+ \rangle \langle \Phi^+ |\,\|\,\mathbf 1/4)=\ln4$ で、授業の「2ビット」に戻る。

実験との対応

光子の偏光を使った実験では、Bell 測定が難しい。ビームスプリッタなどの線形な光学素子と光子検出器だけでは、4つの Bell 状態を確実に見分ける測定は作れないことが知られている¹1N. Lütkenhaus, J. Calsamiglia and K.-A. Suominen (1999), Physical Review A 59, 3295–3300。下の脚注へ閉じる。最初の光子のテレポーテーション実験（Bouwmeester ら²2D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, M. Eibl, H. Weinfurter and A. Zeilinger (1997), Nature 390, 575–579。下の脚注へ閉じる）は、$| \Psi^- \rangle$ の結果だけを選んで使った。超高密度符号の実験（Mattle ら³3K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwiat and A. Zeilinger (1996), Physical Review Letters 76, 4656–4659。下の脚注へ閉じる）は、4状態のうち3通りを見分けて、1個の光子で3通りの値（$\log_23=1.58$ ビット）を送った。