授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第4部 第5章 §4.5.6　★★ トルクの式・球面調和関数の微分方程式・Pauli 行列の導入・Laguerre 多項式による水素原子の解き方を、この章の「生成子と交換関係」の書き方と並べる

学部の授業では、角運動量は次の4つの場面で別々に導入されることが多い。ここではそれぞれをこの章の形と並べる。

第一は力学のトルクの式である。授業では Newton の運動方程式から

$$\frac{\mathrm{d} \bm{L}}{\mathrm{d} t}=\bm{r}\times\bm{F}\eqqcolon\bm{N},\qquad \bm{F}=-\nabla V(r)\ \Rightarrow\ \bm{N}=-V'(r)\,\bm{r}\times\frac{\bm{r}}{r}=0$$

として、中心力では角運動量が保存すると示す。この章では、同じ式は期待値の式 (4.5.7) として現れ、保存の理由は「$\hat H$ が回転で変わらない」（定理 4.5.2）である。トルクが $0$ になることと、回転の生成子が $\hat H$ と可換であることは、同じ事実の2つの書き方になっている。

第二は球面調和関数である。授業では Laplace 演算子を極座標で書き、角度の部分

$$\hat{\bm{L}}^{\,2}=-\hbar^2\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial }{\partial \theta}\Bigr)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\Bigr],\qquad \hat L_z=-\mathrm{i}\hbar\frac{\partial }{\partial \varphi}$$

の固有関数を変数分離 $Y=\Theta(\theta)\mathrm{e}^{\mathrm{i} m\varphi}$ で探し、$\Theta$ の方程式（Legendre の陪微分方程式）が $\theta=0,\pi$ で有限な解を持つ条件から $l$ が整数で $\lvert m\rvert \le l$ と結論する。この章では、同じ結論を交換関係だけから出した（定理 4.5.4）。$l$ が整数になる理由は、$\theta$ の端の条件でなく $\varphi$ の一価性、つまり $2\pi$ 回転で元に戻ることである。微分方程式を解く代わりに、昇降演算子

$$\hat L_\pm=\hbar\,\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\varphi}\Bigl(\pm\frac{\partial }{\partial \theta}+\mathrm{i}\cot\theta\frac{\partial }{\partial \varphi}\Bigr)\tag{4.5.26}$$

で $\hat L_+Y_{ll}=0$ を解き、$\hat L_-$ を当てて降りれば、$Y_{lm}$ を順に作ることができる。

第三はスピンである。授業では Stern–Gerlach の実験から「電子には2つの値しかとらない内部自由度がある」と述べ、Pauli 行列 (4.5.20) を天下り的に与えることが多い。この章では、回転の生成子の交換関係を満たす最も小さい半整数の組として、定理 4.5.4 の $j=\tfrac12$ から Pauli 行列が出てくる。磁気共鳴の授業で使う Bloch 方程式 $\frac{\mathrm{d} \bm{M}}{\mathrm{d} t}=\gamma\bm{M}\times\bm{B}$（緩和を除いた部分）は、式 (4.5.22) の期待値を多数のスピンで足したものである。

第四は水素原子の解き方である。授業では動径の方程式 (4.5.14) を級数で解き、級数が途中で切れる条件から $E_n=-M\kappa^2/(2\hbar^2n^2)$ と $n=n_r+l+1$（$n_r$ は動径の節の数）を出し、$l$ によらないことを「偶然の縮退」と呼ぶことがある。この章では、その縮退は Runge–Lenz ベクトルの保存という対称性の結果で、準位の式も対称性から出た（命題 4.5.5）。「偶然」と呼ばれていたものは、回転より大きい4次元の回転の対称性だった、というのがこの章の見方である。