当てる道具：Bloch の定理とバンド

光学と量子エレクトロニクス　第27章 §27.2　★★★ 周期 $a$ のポテンシャルの中の原子の固有状態は準運動量 $q$ でラベルされる Bloch 関数で、エネルギーはバンドに分かれる。深い格子では最低バンドは $-2t_{\mathrm h}\cos qa$ で、トンネル $t_{\mathrm h}$ は深さとともに $\mathrm{e}^{-2\sqrt s}$ で小さくなる

中心方程式

1次元の格子 $V(x)=V_0\sin^2kx$ の中の原子の Hamiltonian は $\hat H=\hat p^2/(2m)+V(\hat x)$ である。ポテンシャルは格子定数 $a=\pi/k$ だけずらしても変わらないので、Bloch の定理（ハミルトニアンの選び方で固体を考える 第2部第4章）から、固有関数は

$$\psi_{n,q}(x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} qx}u_{n,q}(x),\qquad u_{n,q}(x+a)=u_{n,q}(x)$$

の形に選べる。$q$ を準運動量と呼び、$-\pi/a<q\le\pi/a$（$\pi/a=k$）の第1 Brillouin ゾーンに取る。$n=0,1,2,\dots$ はバンドの番号である。

周期関数 $u_{n,q}$ を周期 $a$ の Fourier 級数 $u=\sum_jc_j\mathrm{e}^{2\mathrm{i} jkx}$ に展開する。ポテンシャルは

$$V_0\sin^2kx=\frac{V_0}{2}-\frac{V_0}{4}\bigl(\mathrm{e}^{2\mathrm{i} kx}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} kx}\bigr)$$

で、Fourier 成分が $0$ と $\pm2k$ の3つしかない。Schrödinger 方程式に入れて $\mathrm{e}^{\mathrm{i}(q+2jk)x}$ の係数を比べると、エネルギーを $E_{\mathrm R}$、$q$ を $k$ の単位で書いて

$$\Bigl[(q+2j)^2+\frac s2\Bigr]c_j-\frac s4\bigl(c_{j+1}+c_{j-1}\bigr)=\frac{E}{E_{\mathrm R}}c_j\tag{27.5}$$

になる。これは $j$ について3重対角の行列の固有値問題で、$j$ を $-20\le j\le20$ ほどで打ち切れば、最低の数本のバンドは数値的に正確に求まる（この章の数値はすべてこの行列の対角化による）。ポテンシャルの Fourier 成分が3つしかないことが、正弦波の格子が計算しやすい理由で、固体の結晶のポテンシャル（多くの Fourier 成分を持つ）との大きな違いである。

$s\to0$ では行列は対角で、バンドは自由粒子の放物線 $(q+2j)^2$ を第1 Brillouin ゾーンに折り返したものになる。$s$ が小さいとき、ゾーンの端 $q=\pm k$ で、$j=0$ と $j=-1$ の2つの放物線が縮退し、その縮退を非対角要素 $-s/4$ が解いて、隙間 $2\times s/4=V_0/2$ が開く。これは固体の「ほぼ自由な電子」の Bragg 反射の隙間と同じである。

深い格子：調和振動子とトンネル

$s$ が大きいと、原子は各井戸の底に閉じ込められる。井戸の底で $V_0\sin^2kx\approx V_0k^2x^2$ と展開すると、調和振動子 $\frac12m\omega^2x^2$ と比べて

$$\hbar\omega=2\sqrt s\,E_{\mathrm R}\tag{27.6}$$

になる。各井戸の準位はほぼ $\hbar\omega(\nu+\frac12)$（$\nu=0,1,\dots$）で、それぞれの準位が隣の井戸とのトンネルでわずかに広がってバンドになる。最低バンドは

$$E_0(q)\approx\bar\varepsilon _0-2t_{\mathrm h}\cos qa\tag{27.7}$$

の形をとる。$t_{\mathrm h}$ をトンネル振幅（ホッピング）と呼び、バンドの幅は $4t_{\mathrm h}$ である。記法の正本に従い、時間 $t$ と区別して添字 h を付ける。式 (27.7) は、各井戸に局在した状態を1つずつ取り、隣どうしの井戸の間だけに行列要素 $-t_{\mathrm h}$ を置いた強束縛の模型の分散と同じ形で、この章では $t_{\mathrm h}=[E_0(k)-E_0(0)]/4$ と定義する。正弦波のポテンシャルの Schrödinger 方程式は Mathieu 方程式で、その漸近形から、深い格子で

$$\frac{t_{\mathrm h}}{E_{\mathrm R}}\approx\frac{4}{\sqrt\pi}s^{3/4}\mathrm{e}^{-2\sqrt s}\tag{27.8}$$

が知られている（W. Zwerger (2003)、J. Opt. B 5, S9 の式）。指数 $\mathrm{e}^{-2\sqrt s}$ は、井戸の間の障壁を WKB でくぐるトンネルの因子 $\exp(-\int\lvert p\rvert \mathrm{d} x/\hbar)$ を、高さ $V_0$・幅 $a$ の正弦波の障壁で計算したものである。格子を深くすると、$\hbar\omega$ は $\sqrt s$ でゆっくり増えるのに、$t_{\mathrm h}$ は指数関数的に小さくなる。光の強さを数倍変えるだけで、トンネルの速さを桁で変えることができる。

最低バンドの Bloch 関数を $q$ について足し合わせると、1つの井戸 $x_j=ja$ に局在した関数

$$w(x-x_j)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_q\mathrm{e}^{-\mathrm{i} qx_j}\psi_{0,q}(x)$$

ができる（$N$ は井戸の数）。これをWannier 関数と呼ぶ。Wannier 関数は井戸ごとに直交し、深い格子では調和振動子の基底状態 $\propto\mathrm{e}^{-x^2/(2x_0^2)}$（$x_0^2=\hbar/(m\omega)$）に近い。27.3節では、原子を Wannier 関数の上に置いて数える。