出てくるもの（1）：Bose–Hubbard 模型と Mott 絶縁体

光学と量子エレクトロニクス　第27章 §27.3　★★★ 最低バンドの Wannier 関数に原子を置くと、トンネル $t_{\mathrm h}$ と同じ井戸の衝突 $U$ だけの Bose–Hubbard 模型になる。比 $U/t_{\mathrm h}$ を格子の深さで上げると、超流動から各井戸に1個ずつの Mott 絶縁体へ移る

模型の導出

Bose 粒子の原子を多数入れる。原子どうしは、極低温では s 波の散乱長 $a_s$ だけで決まる接触相互作用 $g\,\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}')$、$g=4\pi\hbar^2a_s/m$ で相互作用する。3次元の格子の最低バンドの Wannier 関数 $w(\bm{r}-\bm{r}_j)$ を基底に、井戸 $j$ の原子の消滅演算子 $\hat b_j$ を使って場の演算子を $\hat\psi(\bm{r})=\sum_jw(\bm{r}-\bm{r}_j)\hat b_j$ と展開する。これを多体の Hamiltonian に入れ、隣どうしより遠いトンネルと、異なる井戸にまたがる相互作用の積分を落とすと、

$$\hat H=-t_{\mathrm h}\sum_{\langle i,j\rangle}\bigl(\hat b_i^\dagger\hat b_j+\hat b_j^\dagger\hat b_i\bigr)+\frac U2\sum_j\hat n_j(\hat n_j-1)-\mu\sum_j\hat n_j,\qquad U=g\int\lvert w(\bm{r})\rvert ^4\mathrm{d}^3r\tag{27.9}$$

になる（D. Jaksch, C. Bruder, J. I. Cirac, C. W. Gardiner, P. Zoller (1998)、Phys. Rev. Lett. 81, 3108）。$\langle i,j\rangle$ は隣どうしの井戸の組、$\hat n_j=\hat b_j^\dagger\hat b_j$、$\mu$ は化学ポテンシャルである。これがBose–Hubbard 模型で、$\hat n_j(\hat n_j-1)/2$ は井戸 $j$ にいる原子の組の数なので、$U$ は同じ井戸に2個入ったときのエネルギーの上がり分である。

Wannier 関数を調和振動子の基底状態で近似すると、各方向で $\int\lvert w\rvert ^4\mathrm{d} x=(2\pi x_0^2)^{-1/2}$ なので、$x_0^2=\hbar/(m\omega)$ と式 (27.6) を使って

$$\frac{U}{E_{\mathrm R}}=\sqrt{\frac8\pi}\,ka_s\,s^{3/4}\tag{27.10}$$

になる。${}^{87}\mathrm{Rb}$ の $a_s$ を約 $100a_0$（$a_0$ は Bohr 半径）とし、$\lambda_{\mathrm L}=1064\,\mathrm{nm}$ では $ka_s=0.0312$ である。$U$ は $s^{3/4}$ でゆっくり増え、$t_{\mathrm h}$ は $\mathrm{e}^{-2\sqrt s}$ で減るので、比 $U/t_{\mathrm h}$ は格子を深くすると急に大きくなる。図 27.3 のとおり、$s=5$ で $2.5$、$s=20$ で $189$ である。

図 27.3　${}^{87}\mathrm{Rb}$ を $1064\,\mathrm{nm}$ の3次元格子に入れたときのトンネル $t_{\mathrm h}$ と同じ井戸の相互作用 $U$。青の点線は中心方程式の対角化による $t_{\mathrm h}$、青の実線は漸近式 (27.8)、赤の実線は調和近似の式 (27.10)（$a_s=100a_0$）。灰色の破線は Mott 転移の深さ $s_{\mathrm c}=12.4$。

超流動と Mott 絶縁体

井戸の数と原子の数が等しい（1井戸あたり平均1個）場合を考える。$U=0$ では、原子は互いに独立に最低バンドの $q=0$ の状態に凝縮し、各原子はすべての井戸に広がる。1つの井戸に注目すると、原子の数は0・1・2・… と揺らぎ、各井戸の位相がそろっている。格子を切って原子を自由に広げると、そろった位相の波が干渉して、運動量 $2\hbar k$ の整数倍の所に鋭い干渉の山が並ぶ。これが超流動である。

$U\gg t_{\mathrm h}$ では、同じ井戸に2個入る状態はエネルギー $U$ だけ高いので、基底状態は各井戸にちょうど1個ずつの積 $\prod_j\hat b_j^\dagger| 0 \rangle$ に近づく。原子の数は井戸ごとに確定し、その代わりに各井戸の位相は決まらないので、干渉の山は消える。原子を1個動かすには少なくとも $U$ の程度のエネルギーが要り、励起にギャップがある。これがMott 絶縁体である。2つの相の境は、3次元の単純立方格子で1井戸あたり1個のとき、量子 Monte Carlo 法で $(U/t_{\mathrm h})_{\mathrm c}=29.34$ と求められている（B. Capogrosso-Sansone, N. V. Prokof'ev, B. V. Svistunov (2007)、Phys. Rev. B 75, 134302）。各井戸を平均場の中に置く近似では $(U/zt_{\mathrm h})_{\mathrm c}=3+2\sqrt2=5.83$（$z=6$ は隣の井戸の数）、すなわち $U/t_{\mathrm h}=35.0$ になる。Greiner たちは ${}^{87}\mathrm{Rb}$ の凝縮体を3次元の光格子に入れて深さを上げ、干渉の山が消えて Mott 絶縁体に移ることを観測した（M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hänsch, I. Bloch (2002)、Nature 415, 39）。