出てくるもの2：Fermi 面の形

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第7章 §2.7.3　★★ Fermi 面は自由電子では球、BZ の境界に近づくと境界に直角に交わるように曲がり、tight-binding の半分詰まりでは正方形になる

自由電子の Fermi 球と BZ

周期ポテンシャルが弱い極限（第2部第5章のほぼ自由な電子）から始める。ポテンシャルを $0$ にすると $\varepsilon (\bm{k})=\hbar^2k^2/(2m)$ で、Fermi 面は半径 $k_{\mathrm F}$ の球になる。単位体積あたりの電子の数を $n$ とすると、球の中の波数の数 $\frac{4\pi k_{\mathrm F}^3/3}{(2\pi)^3}$ にスピンの2を掛けたものが $n$ に等しく

$$k_{\mathrm F}=(3\pi^2n)^{1/3}\tag{2.7.5}$$

である。周期ポテンシャルを入れると、BZ の境界（ゾーン境界）でギャップが開く。Fermi 球が BZ の内側に収まっていれば、Fermi 面はほとんど球のまま残る。Fermi 球が境界に届くと、そこでバンドが割れるので、球は境界で切られた形になる。

1価の金属では、1本のバンドの容量の半分しか電子が無いので、Fermi 球の体積は BZ の体積のちょうど半分である。球が BZ の内側に収まるかどうかは BZ の形で決まり、次の例題で bcc と fcc を比べる。

Fermi 面はゾーン境界に直角に交わる

Fermi 面がゾーン境界に届くときの交わり方には、対称性から決まる規則がある。逆格子ベクトル $\bm{G}$ の垂直二等分面の上の点を $\bm{k}_0=\bm{G}/2+\bm{k}_\perp$（$\bm{k}_\perp\perp\bm{G}$）とし、$\bm{G}$ の向きの単位ベクトルを $\bm{e}_G$ とする。時間反転の対称性による $\varepsilon _n(\bm{k})=\varepsilon _n(-\bm{k})$ と周期性 $\varepsilon _n(\bm{k}-\bm{G})=\varepsilon _n(\bm{k})$ を順に使うと、$s$ を実数として

$$\varepsilon _n\Bigl(\frac{\bm{G}}{2}+\bm{k}_\perp+s\bm{e}_G\Bigr)=\varepsilon _n\Bigl(-\frac{\bm{G}}{2}-\bm{k}_\perp-s\bm{e}_G\Bigr)=\varepsilon _n\Bigl(\frac{\bm{G}}{2}-\bm{k}_\perp-s\bm{e}_G\Bigr)$$

である。面が鏡映の対称性 $\bm{k}_\perp\to-\bm{k}_\perp$ も持つ場合（立方格子の面など）には、最後の式は $\varepsilon _n(\bm{G}/2+\bm{k}_\perp-s\bm{e}_G)$ に等しい。すると $\varepsilon _n$ は $s$ の偶関数なので、$s=0$ での $s$ 微分、つまり群速度の $\bm{G}$ 方向の成分は $0$ である（$\varepsilon _n$ がそこで微分可能、すなわちバンドが縮退していない場合）。Fermi 面の法線は群速度の向きなので、Fermi 面はゾーン境界の面に直角に交わる。ほぼ自由な電子の Fermi 球は、ゾーン境界の近くで境界に向かって引き伸ばされるように曲がって、境界に直角に入る。

tight-binding の Fermi 面

ポテンシャルが強い逆の極限、tight-binding の側からも Fermi 面を描いてみる。格子定数 $a$ の2次元の正方格子で、最近接だけのホッピング $t$ を残すと、バンドは

$$\varepsilon (\bm{k})=-2t(\cos k_xa+\cos k_ya)\tag{2.7.6}$$

の1本である（第2部第3章の輪を2方向にしたもの）。$\mu$ を変えると、Fermi 面（この場合は曲線）は図 2.7.2 のように形を変える。

電子の数が少ないとき（$\mu=-3t$）、Fermi 面はほとんど円である。BZ の底 $\bm{k}=\bm{0}$ の近くで $\varepsilon \approx-4t+ta^2k^2$ と放物線になり、自由電子と同じ形になるからである。$\mu$ を上げると円は角ばり、$\mu=0$ でちょうど正方形 $\lvert k_x\rvert +\lvert k_y\rvert =\pi/a$ になる。$\cos k_xa+\cos k_ya=0$ は $k_ya=\pm(\pi-k_xa)$ と同じだからである。この正方形の内側の面積は $2(\pi/a)^2$ で、BZ の面積 $(2\pi/a)^2$ のちょうど半分なので、1サイトあたり1個（半分詰まり）に当たる。正方形の頂点 $(\pi/a,0)$ はバンドの鞍点で、ここで状態密度が対数的に発散する（2次元の van Hove 特異点。第2部第6章）。$\mu>0$ では、Fermi 面は BZ の角を囲む曲線になる。占められた領域は Fermi 面の外側で、Fermi 面の囲む内側が空いている。空いた状態の集まりを1つの粒子のように扱うのが正孔の描像で、Hall 効果の符号として測られる（第4部第4章）。

半分詰まりの正方形の Fermi 面には、もう1つ特徴がある。向かい合う辺どうしが、1つのベクトル $\bm{Q}=(\pi/a,\pi/a)$ だけずらすと重なる。これを Fermi 面のネスティングと呼ぶ。ネスティングがあると、波数 $\bm{Q}$ の小さな周期的な摂動が Fermi 面の上の多くの状態を同時に混ぜ、その摂動のエネルギーを大きく下げられる。1次元の鎖の Fermi 面は2点 $\pm k_{\mathrm F}$ で、$2k_{\mathrm F}$ だけずらすと完全に重なる。これが次の章で Peierls 転移が1次元で必ず起きる理由になる（第2部第8章）。