何の実験の量で確かめるか・授業で習った形との対応

(1) $N_{\mathrm c}N_{\mathrm v}\propto T^3$ なので $n_{\mathrm i}\propto T^{3/2}\mathrm{e}^{-E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)}$、$\rho\propto T^{-3/2}\mathrm{e}^{E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)}$ である。比をとると

$$\ln\frac{\rho(T_1)}{\rho(T_2)}=-\frac32\ln\frac{T_1}{T_2}+\frac{E_{\mathrm g}}{2 k_{\mathrm B}}\Bigl(\frac1{T_1}-\frac1{T_2}\Bigr)$$

で、$\ln20=2.996$、$\frac32\ln\frac{350}{300}=0.231$、$\frac1{300}-\frac1{350}=4.762\times10^{-4}\,\mathrm{K^{-1}}$ から$E_{\mathrm g}=2\times8.617\times10^{-5}\times(2.996-0.231)/(4.762\times10^{-4})=1.00\,\mathrm{eV}$ である。

(2) $T^{-3/2}$ を落とすと $E_{\mathrm g}=2\times8.617\times10^{-5}\times2.996/(4.762\times10^{-4})=1.08\,\mathrm{eV}$ で、$8\%$ 大きく出る。指数関数の項が主だが、$\mathrm{e}^{E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)}$ の変化がそれほど大きくない狭い温度範囲では、べきの因子も無視できない。実際の解析では、移動度の温度依存性もべきの因子として同じ形で入る。

(1) 例題 2.7.2 (3) の $D(\varepsilon _{\mathrm F})=1/(\pi ta)$ は単位長さあたりなので、1サイト（長さ $a$）あたりでは $1/(\pi t)$ である。これを入れて

$$\gamma=\frac{\pi^2}{3} k_{\mathrm B}^2\cdot\frac{1}{\pi t}=\frac{\pi k_{\mathrm B}^2}{3t},\qquad \gamma_{\mathrm{mol}}=N_{\mathrm A}\frac{\pi k_{\mathrm B}^2}{3t}=\frac{\pi R}{3}\cdot\frac{ k_{\mathrm B}}{t}$$

で、$t=1\,\mathrm{eV}$ では $\gamma_{\mathrm{mol}}=\frac{\pi}{3}\times8.314\times8.617\times10^{-5}\,\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-2}}=0.750\,\mathrm{mJ\,mol^{-1}\,K^{-2}}$ である。$C_{\mathrm{el}}=\gamma T$ は $10\,\mathrm K$ で $7.50\,\mathrm{mJ\,mol^{-1}K^{-1}}$、$300\,\mathrm K$ で $0.225\,\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$ になる。$\gamma$ の式の導き方は 第4部第1章で扱う。ここで使うのは、比熱が $D(\varepsilon _{\mathrm F})$ に比例し、$T$ に比例するという形だけである。Fermi 面の近くの幅 $k_{\mathrm B} T$ の電子だけが動けるので、温度に比例する（2.7.4節の初め）。

(2) $m^*=m$ では $N_{\mathrm c}=N_{\mathrm v}$ で、$300\,\mathrm K$ の $N_{\mathrm c}=2.51\times10^{19}\,\mathrm{cm^{-3}}$ と $\mathrm{e}^{-E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)}=\mathrm{e}^{-19.34}=3.98\times10^{-9}$ から $n_{\mathrm i}=1.0\times10^{11}\,\mathrm{cm^{-3}}$、$x=2.0\times10^{-12}$ である。1原子あたりのエネルギーは $U\approx xE_{\mathrm g}$ で、$x$ の温度変化は指数 $\mathrm{e}^{-E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)}$ が決める（$\mathrm{d} x/\mathrm{d} T\approx x\,E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T^2)$）。したがって

$$C_{\mathrm{el}}=\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} T}\approx E_{\mathrm g}\cdot\frac{xE_{\mathrm g}}{2 k_{\mathrm B} T^2}=\frac12x\Bigl(\frac{E_{\mathrm g}}{ k_{\mathrm B} T}\Bigr)^2 k_{\mathrm B}$$

である。前の因子 $T^{3/2}$ の微分と、電子と正孔の運動エネルギー $3 k_{\mathrm B} T$ を入れても、$300\,\mathrm K$ で値が2割ほど変わるだけである。$300\,\mathrm K$ では $E_{\mathrm g}/ k_{\mathrm B} T=38.7$ で、$C_{\mathrm{el}}\approx\frac12\times2.0\times10^{-12}\times38.7^2\, k_{\mathrm B}=1.5\times10^{-9} k_{\mathrm B}$、1モルあたり $1.2\times10^{-8}\,\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$ である。金属の (1) の $0.225$ より7桁小さい。$10\,\mathrm K$ では $E_{\mathrm g}/(2 k_{\mathrm B} T)=580$ で、$x$ は $10^{-258}$ ほどになり、$C_{\mathrm{el}}$ は $10^{-251}\,\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}$ の大きさで、測れる量としては $0$ である。

(3) 低温の比熱は、電子の項と格子の項（Debye の $T^3$。第3部第2章）の和で、金属では $C=\gamma T+A T^3$、$C/T=\gamma+A T^2$ になる（$A$ は格子で決まる定数）。$C/T$ 対 $T^2$ の直線の切片が $\gamma$ である。金属では切片が $D(\varepsilon _{\mathrm F})>0$ に比例して有限に残り、絶縁体では (2) のとおり電子の項が指数で消えるので、直線は原点を通る。切片が有限か $0$ かが、Fermi 準位がバンドの中にあるかギャップの中にあるかの判定になる。切片の値を1電子の $D(\varepsilon _{\mathrm F})$ と比べたずれは、有効質量や相互作用の大きさを表し、第4部第1章で読む。