何を削ったか

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第2部 第7章 §2.7.5　★★ 電子どうしの相互作用・完全な周期性・止まった格子を削った。相互作用を戻すと、半分詰まりのバンドでも絶縁体になる（Mott 絶縁体）

この章の結論「バンドの埋まり方で決まる」は、式 (2.7.1) の1電子のハミルトニアンを選んだことに全面的に頼っている。この $\hat H$ は、第1部第1章の全体のハミルトニアン（第1部第1章）から、少なくとも次の3つを削ったものである。

電子どうしの相互作用

1つめは電子どうしの Coulomb 相互作用である。(2.7.1) の $\varepsilon _n(\bm{k})$ には、ほかの電子からの力が平均のポテンシャルとして入っているだけで、「ある電子がいるサイトには、ほかの電子が入りにくい」という相関は入っていない。

この相関が強いと、バンドの数え方は破れる。NiO と CoO は、単位胞に金属イオンと酸素が1個ずつで、1電子のバンドの描像では $d$ のバンドが途中まで詰まった金属になるはずだが、実際には透明な絶縁体である。この食い違いは早くから指摘され（J. H. de Boer, E. J. W. Verwey (1937), Proc. Phys. Soc. 49, 59）、N. F. Mott は、同じサイトに電子が2個入るときの Coulomb エネルギーがバンドの幅より大きいと、電子は各サイトに1個ずつ局在して動けなくなると考えた（N. F. Mott (1949), Proc. Phys. Soc. A 62, 416）。こうして生じる絶縁体をMott 絶縁体と呼ぶ。NiO のギャップは光電子分光と逆光電子分光から約 $4.3\,\mathrm{eV}$ と求められている（G. A. Sawatzky, J. W. Allen (1984), Phys. Rev. Lett. 53, 2339）。これを1電子の描像に第1部第1章の Hubbard 模型の $U$ を加えて見ると、半分詰まりの1本のバンドでも、$U$ がバンドの幅より大きければ電荷を動かすのに $U$ ほどのエネルギーが要る、ということになる。磁性との関係は第5部で扱う（第5部第2章）。

それでも「単位胞あたりの電子の数が奇数なら金属」という数え方は、形を変えて相互作用のある系にも残る。並進と粒子数の保存の対称性を持つ相互作用する電子系で、単位胞あたりの電子の数が整数でない（スピンを区別すると奇数の場合を含む）とき、基底状態が「ただ1つで、上にギャップのある」状態にはなれない、という主張である。1次元のスピン鎖について E. H. Lieb, T. Schultz, D. Mattis (1961), Ann. Phys. 16, 407 が示し、高次元へは M. Oshikawa (2000), Phys. Rev. Lett. 84, 1535 の議論とM. B. Hastings (2004), Phys. Rev. B 69, 104431 による証明がある（定理の前提の正確な形は、この章では原論文まで確かめていない）。Mott 絶縁体はこの主張と矛盾しない。電荷を動かすにはギャップがあるが、スピンの自由度が残っていて、低温では反強磁性の秩序で単位胞が2倍になる（電子の数が偶数になる）か、ギャップの無いスピンの励起を持つからである。

完全な周期性

2つめは周期性である。Bloch の定理は完全な周期性を前提にしているが、実在の結晶には不純物や欠陥があり、合金やアモルファス固体では周期性そのものが無い。乱れが強いと、途中まで詰まったバンドの状態でも、波動関数が空間の一部に局在して電流を運ばなくなることがある（P. W. Anderson (1958), Phys. Rev. 109, 1492。Anderson 局在）。このとき $D(\varepsilon _{\mathrm F})>0$ でも結晶は絶縁体になり、定義 2.7.2 の「Fermi 面がある」は金属であることの十分条件でなくなる。逆に、周期性の無いアモルファスの Si でも、光の吸収にはギャップに当たる吸収端が見られる。ギャップの大きさは主に隣の原子との化学結合で決まり、長い距離の周期性にはあまりよらないからである。

止まった格子と、結晶の大きさの極限

3つめは格子の運動である。この章では原子核を格子点に止め、バンドを温度によらないものとして扱った。実際にはギャップは温度とともに少し変わり（Si では $0\,\mathrm K$ の $1.170\,\mathrm{eV}$ から室温で数 % 小さくなる）、電子とフォノンの結合は金属の電気抵抗を決める（第4部第2章）。1次元の半分詰まりの金属では、格子を歪めること自体でエネルギーが下がり、金属が自発的に絶縁体になる（第2部第8章）。

さらに、式 (2.7.4) で $\bm{k}$ の和を積分に置き換え、例題 2.7.1 で隙間 $4t\sin(\pi/N)$ を $0$ とみなしたのは、結晶の大きさを無限にする極限をとったことに当たる。この極限では、有限の大きさの系が持つ $1/N$ の大きさの隙間が消えて、金属と絶縁体がはっきり分かれる。

裏付けの札