この章のまとめ

(1) 第2部第3章の総合問題では、隣どうしの間隔を $d$、サイトのエネルギーを A で $\bar\varepsilon +\Delta/2$、B で $\bar\varepsilon -\Delta/2$ とした輪で、A の原子の和と B の原子の和の2つの基底の上の $2\times2$ の行列を対角化し、帯 $\varepsilon _\pm=\bar\varepsilon \pm\sqrt{\Delta^2/4+4t^2\cos^2(kd)}$ を得た。非対角要素 $-2t\cos(kd)$ は、A のサイトが両隣の B と位相 $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i} kd}$ でつながることから来る。この鎖では $\bar\varepsilon =0$、隣どうしの間隔が $d=a/2$ なので、$kd$ を $ka/2$ に読み替えて

$$\varepsilon _\pm(k)=\pm\sqrt{\frac{\Delta^2}{4}+4t^2\cos^2\frac{ka}{2}}$$

となる。単位胞の長さが $a$ なので Brillouin 域は $-\pi/a<k\le\pi/a$ で、第2部第3章で $\lvert k\rvert \le\pi/(2d)$ と書いた範囲と同じである。

(2) $\cos^2(ka/2)$ は $k=\pm\pi/a$ で $0$ になるので、上のバンドの底と下のバンドの上端はどちらも $k=\pm\pi/a$ にあり、ギャップの大きさは $\varepsilon _+-\varepsilon _-=\Delta$ である（図 2.7.4）。単位胞あたり2個の電子は下のバンドをちょうど満たし（1本の容量は単位胞あたり2個）、$\Delta>0$ ならギャップの中に $\mu$ があるので絶縁体である。$\Delta=0$ ではギャップが閉じて2本のバンドが $k=\pm\pi/a$ で接する。このとき鎖は1種類の原子が間隔 $a/2$ で並んだものなので、単位胞を $a/2$ に取り直せば $\varepsilon =-2t\cos(ka/2)$ の1本のバンドが半分まで詰まった金属である（例題 2.7.2 の $n_{\mathrm e}=1$）。2つのサイトを持つ単位胞で見た2本のバンドは、この1本を BZ の半分で折り返したもので、満ちたように見える下のバンドのすぐ上に空いた状態が続いている。

(3) 電子の総数は単位胞あたり2個で、下のバンドが満ちた状態と同じなので、上のバンドの電子の数と下のバンドの空きの数は等しい。$\mu=0$ とおくと、上のバンドの占有は $f(\varepsilon _+)$、下のバンドの空きは $1-f(\varepsilon _-)=1-f(-\varepsilon _+)=f(\varepsilon _+)$（$f(-x)=1-f(x)$ を使った）で、各 $k$ で等しい。したがって $\mu=0$ で中性の条件が満たされ、$\mu$ は温度によらず $0$（ギャップの中央）である。(2.7.11) の $\mu_{\mathrm i}$ の補正項が $0$ なのは、上下のバンドの有効質量が等しいことに当たる。

(4) $k=\pi/a+q$ では $\cos(ka/2)=\cos(\pi/2+qa/2)=-\sin(qa/2)\approx-qa/2$ なので

$$\varepsilon _+\approx\sqrt{\frac{\Delta^2}{4}+t^2a^2q^2}\approx\frac\Delta2+\frac{t^2a^2q^2}{\Delta},\qquad \frac{\hbar^2}{2m^*}=\frac{t^2a^2}{\Delta},\quad m^*=\frac{\hbar^2\Delta}{2t^2a^2}$$

である。ギャップが小さいほど有効質量は小さく、バンドの端は鋭くなる。非縮退近似 $f(\varepsilon _+)\approx\mathrm{e}^{-\varepsilon _+/( k_{\mathrm B} T)}$（$\mu=0$）と放物線を使い、1次元の波数の密度（単位胞あたり $a/(2\pi)$）とスピンの2を掛けると

$$n_{\mathrm{cell}}\approx2\cdot\frac{a}{2\pi}\mathrm{e}^{-\Delta/(2 k_{\mathrm B} T)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-t^2a^2q^2/(\Delta k_{\mathrm B} T)}\mathrm{d} q=\frac a\pi\mathrm{e}^{-\Delta/(2 k_{\mathrm B} T)}\sqrt{\frac{\pi\Delta k_{\mathrm B} T}{t^2a^2}}=\mathrm{e}^{-\Delta/(2 k_{\mathrm B} T)}\frac{\sqrt{\Delta k_{\mathrm B} T/\pi}}{t}$$

を得る。$q$ の積分を $\pm\infty$ まで延ばしたのは、$\mathrm{e}^{-\cdots q^2}$ が BZ の幅よりずっと狭い範囲で $0$ になるからである。指数の分母が $2 k_{\mathrm B} T$ なのは、$\mu$ がギャップの中央にあるからである。

(5) $m^*/m=\frac{\hbar^2}{2ma^2}\cdot\frac{\Delta}{t^2}$ で、$a=0.25\,\mathrm{nm}$ では $\hbar^2/(2ma^2)=0.610\,\mathrm{eV}$ なので $m^*/m=0.610\,\mathrm{eV}\times1\,\mathrm{eV}/(1\,\mathrm{eV})^2=0.610$ である。$k_{\mathrm B} T=0.02585\,\mathrm{eV}$ で $\mathrm{e}^{-\Delta/(2 k_{\mathrm B} T)}=\mathrm{e}^{-19.34}=3.98\times10^{-9}$、$\sqrt{\Delta k_{\mathrm B} T/\pi}/t=0.0907$ なので $n_{\mathrm{cell}}\approx3.61\times10^{-10}$ である。数値積分の値 $3.69\times10^{-10}$ との比は $0.980$ で、近似は $2\%$ 小さい。非縮退近似の誤差は $\mathrm{e}^{-19}$ の大きさで無視できるので、ずれは放物線近似によるものである。$\varepsilon _+=\sqrt{\Delta^2/4+t^2a^2q^2}$ は $q$ が大きくなると放物線より緩やかに増える（$q^4$ の項の係数が負）ので、放物線は高い所の状態を実際より高く見積もり、電子の数を小さく出す。ずれの大きさは $k_{\mathrm B} T/\Delta$ の大きさで、$k_{\mathrm B} T\ll\Delta$ の極限で $0$ になる。この近似に当たる札は、2.7.5節の2枚目（B 型。$\mathrm{e}^{-(\varepsilon _{\mathrm c}-\mu)/( k_{\mathrm B} T)}\to0$ と $k_{\mathrm B} T/W\to0$）である。ここでは $k_{\mathrm B} T/W$ の側の誤差が主になっていて、「条件付き」の条件がどちらも満たされている。1 cm の鎖（単位胞 $4\times10^7$ 個）に直すと、熱で上がった電子は $0.015$ 個で、この鎖は室温でよい絶縁体である。