この章のまとめ

(1) A と B が交互なので、原子を1つずらすと A と B が入れ替わり $\hat H$ は変わる。2つずらす $\hat T^2$ では元に戻るので $\left[\hat H,\,\hat T^2\right]=0$。単位胞の長さは $2a$ で、Brillouin 域は $-\pi/(2a)<k\le\pi/(2a)$ と半分になる。$(\hat T^2)^M=1$ なので $k=2\pi\mu/(2Ma)$（$\mu$ は $M$ 個の整数）で、許される $k$ は $M$ 個である。各 $k$ に (2) で見る2つの状態があるので、総数は $2M=N$ で変わらない。

(2) $\hat H| 2l \rangle =\varepsilon _{\mathrm A}| 2l \rangle -t(| 2l-1 \rangle +| 2l+1 \rangle )$ で、A の原子は両隣の B の原子とだけつながる。$| k,\mathrm A \rangle$ に $\hat H$ を当てると、B の原子 $2l+1$ の係数は$-tM^{-1/2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx_{2l}}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx_{2l+2}})=-tM^{-1/2}\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx_{2l+1}}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i} ka}+\mathrm{e}^{\mathrm{i} ka})$ なので、

$$\hat H| k,\mathrm A \rangle =\varepsilon _{\mathrm A}| k,\mathrm A \rangle -2t\cos(ka)| k,\mathrm B \rangle$$

である。B についても同様で、$\hat H$ は $\{| k,\mathrm A \rangle ,| k,\mathrm B \rangle \}$ の上で

$$H(k)=\begin{pmatrix}\bar\varepsilon +\Delta/2&-2t\cos ka\\-2t\cos ka&\bar\varepsilon -\Delta/2\end{pmatrix}$$

に閉じる。固有値は

$$\varepsilon _\pm(k)=\bar\varepsilon \pm\sqrt{\Delta^2/4+4t^2\cos^2(ka)}$$

である（$2M=200$、$t=1$、$\Delta=t$ の行列を数値で対角化した固有値と一致する）。

(3) 下の帯 $\varepsilon _-$ の最大値と上の帯 $\varepsilon _+$ の最小値は、どちらも $\cos ka=0$ の Brillouin 域の端 $k=\pi/(2a)$ で取られ、$\bar\varepsilon \mp\Delta/2$ である。ギャップは $\Delta$ で、下の帯は $[\bar\varepsilon -\sqrt{\Delta^2/4+4t^2},\bar\varepsilon -\Delta/2]$、上の帯は $[\bar\varepsilon +\Delta/2,\bar\varepsilon +\sqrt{\Delta^2/4+4t^2}]$ に広がる。$\Delta=t$ では下の帯が $[-2.062t,-0.5t]$、ギャップは $t$ である。$\Delta\to0$ では $\varepsilon _\pm=\bar\varepsilon \pm2t\lvert \cos ka\rvert$ で、Brillouin 域が半分になったために元の帯 $\bar\varepsilon -2t\cos ka$ の $\lvert k\rvert >\pi/(2a)$ の部分が $k\mp\pi/a$ だけ折り返されて上の帯になったものである。ギャップは $0$ に閉じ、2本の帯はつながって1本に戻る。$t\to0$ では $\varepsilon _\pm=\bar\varepsilon \pm\Delta/2=\varepsilon _{\mathrm A},\varepsilon _{\mathrm B}$ で、孤立した原子の準位に戻る。$k=0$ の $2\times2$ 行列は、種類の違う2原子の分子の行列でホッピングを $t$ から $2t$ にしたもの（A の原子は B の両隣と同位相でつながる）である。

(4) 電子は $N=2M$ 個で、下の帯の $M$ 個の準位にスピンの上下で2個ずつ入ると、ちょうど下の帯が全部埋まる。上の帯は空で、その間にギャップ $\Delta$ があるので、$\Delta>0$ なら絶縁体である。1原子あたりのエネルギーは、下の帯の $\varepsilon _-(k)$ の $k$ についての平均に等しい（$2M$ 個の電子 $\div\,2M$ 個の原子 $\times$ 各準位2個 $\div$ $M$ 個の $k$）：

$$\frac EN=\bar\varepsilon -\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\sqrt{\Delta^2/4+4t^2\cos^2\theta}\,\mathrm{d}\theta .$$

$\Delta=0$ では積分が $2t$ で $-4t/\pi$ に戻る。$\Delta=t$ では数値積分で $E/N=-1.4028t$（$2M=200$ の対角化と一致）で、$-4t/\pi=-1.2732t$ より $0.1296t$ 低い。エネルギーが下がるのは、A の原子に入る電子が低い $\varepsilon _{\mathrm B}$ の側へ寄るためで、下の帯の状態は B の原子に重みが偏っている。

(5) $k=0$ のまわりで $\cos^2ka\approx1-k^2a^2$ を使い、$S\coloneqq\sqrt{\Delta^2/4+4t^2}$ と置くと$\varepsilon _-(k)\approx\bar\varepsilon -\sqrt{S^2-4t^2k^2a^2}\approx\bar\varepsilon -S+\frac{2t^2a^2}{S}k^2$。$\hbar^2k^2/(2m^*)$ と比べて

$$m^*=\frac{\hbar^2S}{4t^2a^2},\qquad \frac{m^*}{\hbar^2/(2ta^2)}=\frac{S}{2t}=\sqrt{1+\frac{\Delta^2}{16t^2}}$$

で、$\Delta=t$ では $1.0308$ 倍に重くなる。A と B の準位が違うと、電子が A の原子を通り抜けるときに準位の違いの分だけ移りにくくなり、帯の底の曲がりが緩くなるからである。