光学と量子エレクトロニクス 第13章 §13.4 ★★★ ω > ω p \omega>\omega_{\mathrm p} ω > ω p ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 \omega^2=\omega_{\mathrm p}^2+c^2k^2 ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 ε r = 0 \varepsilon_{\mathrm r}=0 ε r = 0 ω p \omega_{\mathrm p} ω p
横波の分散関係
一様な媒質の中の横波は、Maxwell 方程式から ∇ 2 E = ( ε r / c 2 ) ∂ 2 E / ∂ t 2 \nabla^2\bm{E}=(\varepsilon_{\mathrm r}/c^2)\partial^2\bm{E}/\partial t^2 ∇ 2 E = ( ε r / c 2 ) ∂ 2 E / ∂ t 2 c 2 k 2 = ε r ( ω ) ω 2 c^2k^2=\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)\omega^2 c 2 k 2 = ε r ( ω ) ω 2 γ → 0 \gamma\to0 γ → 0 ε b = 1 \varepsilon_{\mathrm b}=1 ε b = 1 (13.3) を入れると
ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 (13.14) \omega^2=\omega_{\mathrm p}^2+c^2k^2\tag{13.14} ω 2 = ω p 2 + c 2 k 2 ( 13.14 )
を得る。相対論の粒子のエネルギー E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 E^2=m^2c^4+p^2c^2 E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 ℏ ω p \hbar\omega_{\mathrm p} ℏ ω p m c 2 mc^2 m c 2 ω < ω p \omega<\omega_{\mathrm p} ω < ω p k k k v p = ω / k v_{\mathrm p}=\omega/k v p = ω / k c c c v g = d ω / d k = c 2 k / ω v_{\mathrm g}=\mathrm{d}\omega/\mathrm{d} k=c^2k/\omega v g = d ω / d k = c 2 k / ω c c c v p v g = c 2 v_{\mathrm p}v_{\mathrm g}=c^2 v p v g = c 2 c c c
縦の振動：ε r = 0 \varepsilon_{\mathrm r}=0 ε r = 0
外から電荷を入れない限り ∇ ⋅ D = 0 \nabla\cdot\bm{D}=0 ∇ ⋅ D = 0 ε 0 ε r ( ω ) k ⋅ E = 0 \varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)\,\bm{k}\cdot\bm{E}=0 ε 0 ε r ( ω ) k ⋅ E = 0 k ⋅ E = 0 \bm{k}\cdot\bm{E}=0 k ⋅ E = 0 k \bm{k} k k ⋅ E ≠ 0 \bm{k}\cdot\bm{E}\ne0 k ⋅ E = 0
ε r ( ω ) = 0 (13.15) \varepsilon_{\mathrm r}(\omega)=0\tag{13.15} ε r ( ω ) = 0 ( 13.15 )
でなければならない。Drude の式では γ → 0 \gamma\to0 γ → 0 ω = ω p / ε b \omega=\omega_{\mathrm p}/\sqrt{\varepsilon_{\mathrm b}} ω = ω p / ε b プラズモン と呼ぶ。
振動の仕組みは、厚さのある金属の板の中で電子の気体全体を x x x ± n e e x \pm n_{\mathrm e}ex ± n e e x E = n e e x / ε 0 E=n_{\mathrm e}ex/\varepsilon_0 E = n e e x / ε 0 m x ¨ = − e E = − ( n e e 2 / ε 0 ) x m\ddot x=-eE=-(n_{\mathrm e}e^2/\varepsilon_0)x m x ¨ = − e E = − ( n e e 2 / ε 0 ) x ω p \omega_{\mathrm p} ω p
プラズモンは、物質を通り抜ける速い電子のエネルギー損失で見える。電子の電荷が作る縦の電場に対する応答は 1 / ε r 1/\varepsilon_{\mathrm r} 1/ ε r − Im ( 1 / ε r ) -\operatorname{Im}(1/\varepsilon_{\mathrm r}) − Im ( 1/ ε r ) ε b = 1 \varepsilon_{\mathrm b}=1 ε b = 1
− Im 1 ε r ( ω ) = ω p 2 γ ω ( ω 2 − ω p 2 ) 2 + γ 2 ω 2 (13.16) -\operatorname{Im}\frac{1}{\varepsilon_{\mathrm r}(\omega)}=\frac{\omega_{\mathrm p}^2\gamma\omega}{(\omega^2-\omega_{\mathrm p}^2)^2+\gamma^2\omega^2}\tag{13.16} − Im ε r ( ω ) 1 = ( ω 2 − ω p 2 ) 2 + γ 2 ω 2 ω p 2 γ ω ( 13.16 )
で、ω ≈ ω p \omega\approx\omega_{\mathrm p} ω ≈ ω p ω p / γ \omega_{\mathrm p}/\gamma ω p / γ γ \gamma γ ε 2 \varepsilon_2 ε 2 ω p \omega_{\mathrm p} ω p ω p \omega_{\mathrm p} ω p ε r \varepsilon_{\mathrm r} ε r ε r \varepsilon_{\mathrm r} ε r 1 / ε r 1/\varepsilon_{\mathrm r} 1/ ε r
図 13.3 電子の気体（γ → 0 \gamma\to0 γ → 0 ε b = 1 \varepsilon_{\mathrm b}=1 ε b = 1 ω p \omega_{\mathrm p} ω p ω = ω p \omega=\omega_{\mathrm p} ω = ω p
アルカリ金属の紫外の透明
アルカリ金属は伝導電子が原子1個あたり1個で、内殻の電子は強く束縛されているので、ε b ≈ 1 \varepsilon_{\mathrm b}\approx1 ε b ≈ 1 1 1 R. W. Wood (1933), Physical Review 44, 353.2 π c / ω p 2\pi c/\omega_{\mathrm p} 2 π c / ω p 2 2 C. Zener (1933), Nature 132, 968.
例題 13.5 ナトリウムとカリウムの透明になる波長 ★★
オリジナル 伝導電子の数密度を Na で 2.65 × 10 28 m − 3 2.65\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} 2.65 × 1 0 28 m − 3 1.40 × 10 28 m − 3 1.40\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}} 1.40 × 1 0 28 m − 3 3 3 N. W. Ashcroft and N. D. Mermin (1976), Solid State Physics, 表 1.1 の値。ε b = 1 \varepsilon_{\mathrm b}=1 ε b = 1 m m m ℏ ω p \hbar\omega_{\mathrm p} ℏ ω p λ p = 2 π c / ω p \lambda_{\mathrm p}=2\pi c/\omega_{\mathrm p} λ p = 2 π c / ω p n e n_{\mathrm e} n e
解答 (13.3) から、Na で ℏ ω p = 6.04 e V \hbar\omega_{\mathrm p}=6.04\,\mathrm{eV} ℏ ω p = 6.04 eV λ p = 205 n m \lambda_{\mathrm p}=205\,\mathrm{nm} λ p = 205 nm ℏ ω p = 4.39 e V \hbar\omega_{\mathrm p}=4.39\,\mathrm{eV} ℏ ω p = 4.39 eV λ p = 282 n m \lambda_{\mathrm p}=282\,\mathrm{nm} λ p = 282 nm λ p ∝ n e − 1 / 2 \lambda_{\mathrm p}\propto n_{\mathrm e}^{-1/2} λ p ∝ n e − 1/2 2.65 / 1.40 = 1.38 \sqrt{2.65/1.40}=1.38 2.65/1.40 = 1.38
例題 13.6 電離層で反射される短波 ★★
オリジナル 電離層の電子の数密度を仮に n e = 1.0 × 10 12 m − 3 n_{\mathrm e}=1.0\times10^{12}\,\mathrm{m^{-3}} n e = 1.0 × 1 0 12 m − 3
(1) プラズマ周波数 f p = ω p / ( 2 π ) f_{\mathrm p}=\omega_{\mathrm p}/(2\pi) f p = ω p / ( 2 π ) f p f_{\mathrm p} f p n e \sqrt{n_{\mathrm e}} n e (2) 真上に向けた 5 M H z 5\,\mathrm{MHz} 5 MHz 20 M H z 20\,\mathrm{MHz} 20 MHz 5 M H z 5\,\mathrm{MHz} 5 MHz 1 / e 1/\mathrm{e} 1/ e 20 M H z 20\,\mathrm{MHz} 20 MHz
解答 (1) f p = 1 2 π n e e 2 / ( ε 0 m ) = 8.98 n e / m − 3 H z f_{\mathrm p}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{n_{\mathrm e}e^2/(\varepsilon_0m)}=8.98\sqrt{n_{\mathrm e}/\mathrm{m^{-3}}}\,\mathrm{Hz} f p = 2 π 1 n e e 2 / ( ε 0 m ) = 8.98 n e / m − 3 Hz n e = 10 12 m − 3 n_{\mathrm e}=10^{12}\,\mathrm{m^{-3}} n e = 1 0 12 m − 3 8.98 M H z 8.98\,\mathrm{MHz} 8.98 MHz 10 16 10^{16} 1 0 16 f p f_{\mathrm p} f p 10 8 10^8 1 0 8
(2) 5 M H z < f p 5\,\mathrm{MHz}<f_{\mathrm p} 5 MHz < f p ε r = 1 − ( f p / f ) 2 = − 2.22 \varepsilon_{\mathrm r}=1-(f_{\mathrm p}/f)^2=-2.22 ε r = 1 − ( f p / f ) 2 = − 2.22 κ = 1.49 \kappa=1.49 κ = 1.49 c / ( κ ω ) = 6.40 m c/(\kappa\omega)=6.40\,\mathrm m c / ( κω ) = 6.40 m 20 M H z > f p 20\,\mathrm{MHz}>f_{\mathrm p} 20 MHz > f p n = 1 − ( f p / f ) 2 = 0.894 n=\sqrt{1-(f_{\mathrm p}/f)^2}=0.894 n = 1 − ( f p / f ) 2 = 0.894 v g = c 2 / v p = n c = 0.894 c v_{\mathrm g}=c^2/v_{\mathrm p}=nc=0.894c v g = c 2 / v p = n c = 0.894 c f p f_{\mathrm p} f p f p f_{\mathrm p} f p
1 R. W. Wood (1933), Physical Review 44, 353.
2 C. Zener (1933), Nature 132, 968.
3 N. W. Ashcroft and N. D. Mermin (1976), Solid State Physics, 表 1.1 の値。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
