出てくるもの2：動的な遮蔽、プラズモンと粒子–正孔の連続帯

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第1章 §5.1.4　★★★ 速く変わる場には電子が追いつけず、遮蔽が起きなくなる。誘電関数の零点は電子気体全体の縦の振動（プラズモン）で、Coulomb 相互作用の長距離に及ぶ部分はこの高いエネルギーの集団運動に取り込まれる

高い振動数の極限

振動数が $\omega\gg qv_{\mathrm F}$ のとき、式 (5.1.5) を $\hbar\omega$ で展開する。第2項を $\bm{k}\to\bm{k}-\bm{q}$ と付け替えると$\chi_0=\frac1V\sum_{\bm{k}\sigma}f_{\bm{k}}\bigl[\frac{1}{\hbar\omega-a}-\frac{1}{\hbar\omega-b}\bigr]$、$a=\varepsilon _{\bm{k}+\bm{q}}-\varepsilon _{\bm{k}}$、$b=\varepsilon _{\bm{k}}-\varepsilon _{\bm{k}-\bm{q}}$ と書ける。$\frac{1}{\hbar\omega-a}=\frac{1}{\hbar\omega}+\frac{a}{(\hbar\omega)^2}+\frac{a^2}{(\hbar\omega)^3}+\frac{a^3}{(\hbar\omega)^4}+\cdots$ を使うと、角かっこの中は$\frac{a-b}{(\hbar\omega)^2}+\frac{a^2-b^2}{(\hbar\omega)^3}+\frac{a^3-b^3}{(\hbar\omega)^4}+\cdots$ になる。$a-b=\hbar^2q^2/m$ は $\bm{k}$ によらず、$a^2-b^2$ は Fermi 球について平均すると $0$（$\bm{k}\cdot\bm{q}$ の奇関数）、$a^3-b^3$ の平均は $\frac{\hbar^2q^2}{m}\cdot\frac35\hbar^2q^2v_{\mathrm F}^2$（$q^6$ の項を除く）である。したがって

$$\chi_0(q,\omega)\approx\frac{nq^2}{m\omega^2}\Bigl[1+\frac35\frac{q^2v_{\mathrm F}^2}{\omega^2}+\cdots\Bigr],\qquad \varepsilon _{\mathrm r}(q,\omega)\approx1-\frac{\omega_{\mathrm p}^2}{\omega^2}\Bigl[1+\frac35\frac{q^2v_{\mathrm F}^2}{\omega^2}\Bigr],\qquad \omega_{\mathrm p}^2=\frac{ne^2}{\varepsilon _0m}\tag{5.1.14}$$

を得る。$q\to0$ の $\varepsilon _{\mathrm r}=1-\omega_{\mathrm p}^2/\omega^2$ は、第4部第2章で Drude 模型から出した誘電関数で緩和時間を無限大にしたものと同じである。静的な極限では $\chi_0<0$ で遮蔽が起きたのに、高い振動数では $\chi_0>0$ になり、$\varepsilon _{\mathrm r}<1$ と符号が逆になる。電子は質量を持つので、速く変わる力には慣性のために遅れて応え、集まるべき所から逆に離れる位相で動く。

プラズモン

外の電荷が無くても $\phi$ が $0$ でない解がありうるのは、式 (5.1.8) で $\varepsilon _{\mathrm r}(q,\omega)=0$ のときである。これは電子気体が外から押されなくても自分で続ける振動、つまり電子の密度の縦波である。式 (5.1.14) を $0$ とおいて $\omega^2$ について解き、$q^2$ の1次まで残すと

$$\omega(q)^2\approx\omega_{\mathrm p}^2+\frac35v_{\mathrm F}^2q^2\tag{5.1.15}$$

になる。$q\to0$ の振動数は $\omega_{\mathrm p}$ で有限に残り、音波のように $0$ へ行かない。電子全体が正の背景に対してずれると、ずれに比例する電場が全体に一様にかかり、ばねの定数が $ne^2/\varepsilon _0$ の振動子になるからである。この集団運動を量子化したものをプラズモンと呼ぶ。

Coulomb 相互作用の長距離に及ぶ部分（小さい $q$）の効果は、プラズモンの形で現れる。小さい $q$ の電荷の揺らぎは、エネルギー $\hbar\omega_{\mathrm p}$ の集団運動としてしか存在できず、金属では $\hbar\omega_{\mathrm p}$ が $\varepsilon _{\mathrm F}$ と同じかそれ以上の大きさなので、低温・低エネルギーの性質には現れない。Fermi 面の近くの電子に残るのは、遮蔽された短距離の相互作用だけである。この役割分担が、次の節で電子を準粒子として扱える理由の1つになる。

粒子–正孔の連続帯と Landau 減衰

$\chi_0$ の虚部は、分母の $\hbar\omega+\varepsilon _{\bm{k}}-\varepsilon _{\bm{k}+\bm{q}}$ が $0$ になる所から出る。これは、エネルギー $\hbar\omega$ と運動量 $\hbar\bm{q}$ を受け取って、Fermi 球の中の電子 $\bm{k}$ を外の $\bm{k}+\bm{q}$ へ移す（粒子と正孔の対を1つ作る）過程である。$\varepsilon _{\bm{k}+\bm{q}}-\varepsilon _{\bm{k}}=\frac{\hbar^2}{m}(\bm{k}\cdot\bm{q})+\frac{\hbar^2q^2}{2m}$ で $\lvert \bm{k}\rvert <k_{\mathrm F}$ だから、絶対零度でこの対が作れるのは

$$\max\Bigl(0,\ \frac{\hbar^2q^2}{2m}-\hbar v_{\mathrm F}q\Bigr)\le\hbar\omega\le\hbar v_{\mathrm F}q+\frac{\hbar^2q^2}{2m}\tag{5.1.16}$$

の範囲である（下限の $0$ は、$q<2k_{\mathrm F}$ なら Fermi 面の近くで小さなエネルギーの対が作れることによる）。この範囲を粒子–正孔の連続帯と呼ぶ。連続帯の外では $\chi_0$ は実数で、プラズモンは減衰しない。$q$ を大きくするとプラズモンの分散 (5.1.15) は連続帯の上の縁 $\hbar v_{\mathrm F}q+\hbar^2q^2/(2m)$ に追いつき、その先ではプラズモンが1つの粒子–正孔対に崩れることができて、急に減衰する。これを Landau 減衰と呼ぶ。

図 5.1.3　アルミニウムの密度（$r_{\mathrm s}/a_0=2.07$、$\hbar\omega_{\mathrm p}/\varepsilon _{\mathrm F}=1.354$）の電子気体の励起。灰色が粒子–正孔の連続帯 (5.1.16)、実線が小さい $q$ の近似 (5.1.15)、点線が Lindhard 関数で $\varepsilon _{\mathrm r}=0$ を数値で解いた RPA のプラズモン。近似は $q=0.635k_{\mathrm F}$、RPA の値は $q=0.739k_{\mathrm F}$ で連続帯に入り、その先は Landau 減衰で鋭い励起でなくなる。