出てくるもの3：準粒子と Landau の Fermi 液体

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第1章 §5.1.5　★★★ 遮蔽された相互作用のもとでは、Fermi 面の近くの励起の減衰率がエネルギーの2乗でしか増えないので、励起は寿命の長い準粒子として残る。その性質は有効質量と少数の Landau パラメータで書け、比熱と磁化率は別々の因子で変わる

断熱接続と準粒子

Landau の考え方は次のとおりである。相互作用の強さを $0$ からゆっくり上げていく。自由電子の基底状態と、それに Fermi 面の外の電子1個を足した励起状態は、途中で相転移（超伝導・磁性など）が起きなければ、相互作用する系の基底状態と励起状態に1対1でつながる。つながった先の励起を、元の電子と同じ $\bm{k}$, $\sigma$ と電荷 $-e$ で番号付けて準粒子と呼ぶ。準粒子は電子にその遮蔽の雲をまとわせたもので、裸の電子とは質量などの数が違う。

番号付けが同じなので、Fermi 面の内側の体積は相互作用によって変わらず、電子の密度 $n$ だけで決まる（Luttinger の定理）。第2部第4章で見たように、相互作用があっても全体の結晶運動量は保存するので、状態を運動量で番号付けることが意味を持つ。

準粒子の寿命

準粒子という考えが意味を持つのは、その寿命 $\tau$ が、エネルギーの不確かさ $\hbar/\tau$ が準粒子のエネルギー $\xi=\varepsilon -\varepsilon _{\mathrm F}$ より十分小さくなるほど長いときである。Fermi 面より $\xi>0$ だけ上の準粒子が減衰するには、Fermi 面の下の電子（エネルギー $\xi_2<0$）と散乱して、2つとも Fermi 面の上の空いた状態（$\xi_3>0$、$\xi_4>0$）へ移らなければならない。エネルギーの保存 $\xi+\xi_2=\xi_3+\xi_4$ と Pauli の原理のために、$\xi_2$ は $-\xi$ から $0$ の範囲、$\xi_3$ は $0$ から $\xi+\xi_2$ の範囲にしか取れない。絶対零度で選べる終状態の数は

$$\int_{-\xi}^{0}\mathrm{d}\xi_2\int_0^{\xi+\xi_2}\mathrm{d}\xi_3=\frac{\xi^2}{2}$$

に比例する。散乱の行列要素は遮蔽された相互作用で有限なので、減衰率は

$$\frac{\hbar}{\tau}\sim\frac{\xi^2+(\pi k_{\mathrm B} T)^2}{\varepsilon _{\mathrm F}}\tag{5.1.17}$$

の形になる。有限温度の $(\pi k_{\mathrm B} T)^2$ は、Fermi 分布で重みを付けた同じ積分 $\iint\mathrm{d}\xi_2\mathrm{d}\xi_3\,f(\xi_2)[1-f(\xi_3)][1-f(\xi+\xi_2-\xi_3)]=\frac{\xi^2+(\pi k_{\mathrm B} T)^2}{2(1+\mathrm{e}^{-\xi/ k_{\mathrm B} T})}$ から出る。係数は相互作用の強さと Fermi 面の形で決まり、式 (5.1.17) は大きさの目安である。重要なのは $\xi$ の2乗で減ることで、$\xi\to0$ で $\hbar/\tau\ll\xi$ が必ず成り立つ。Fermi 面に近い励起ほど長生きする。

Landau のエネルギー汎関数

準粒子の占有率が基底状態から $\delta n_{\bm{k}\sigma}$ だけずれたときの全エネルギーを、ずれの2次まで

$$E=E_0+\sum_{\bm{k}\sigma}\varepsilon ^*_{\bm{k}}\,\delta n_{\bm{k}\sigma}+\frac{1}{2V}\sum_{\bm{k}\sigma}\sum_{\bm{k}'\sigma'}f^{\mathrm L}_{\bm{k}\sigma,\bm{k}'\sigma'}\,\delta n_{\bm{k}\sigma}\delta n_{\bm{k}'\sigma'}\tag{5.1.18}$$

と書く。$\varepsilon ^*_{\bm{k}}$ は準粒子1個のエネルギーで、Fermi 面の近くでは $\varepsilon _{\mathrm F}+\hbar v^*_{\mathrm F}(k-k_{\mathrm F})$、$v^*_{\mathrm F}=\hbar k_{\mathrm F}/m^*$ で有効質量 $m^*$ を定める。$f^{\mathrm L}$ は準粒子どうしの相互作用で、ほかの準粒子が増えると自分のエネルギーが変わる分を表す（Fermi 分布の $f$ と区別するため添字 L を付ける）。等方な系では、$\bm{k}$, $\bm{k}'$ を Fermi 面の上にとると $f^{\mathrm L}$ はなす角 $\theta$ とスピンの向きだけによるので、$f^{\mathrm L}=f^{\mathrm s}(\theta)+\sigma\sigma'f^{\mathrm a}(\theta)$（$\sigma,\sigma'=\pm1$）と分け、Legendre 多項式で展開した係数に準粒子の状態密度 $D^*=D(\varepsilon _{\mathrm F})m^*/m$ を掛けて無次元にしたものを Landau パラメータ $F^{\mathrm s}_l$, $F^{\mathrm a}_l$ と呼ぶ（$F^{\mathrm s}_l=D^*f^{\mathrm s}_l$ など）。

ここから低温の3つの応答が出る。

比熱。準粒子のエントロピーは自由な Fermi 粒子と同じ形 $- k_{\mathrm B}\sum[n\ln n+(1-n)\ln(1-n)]$ で書けるので、第4部第1章の計算で $D(\varepsilon _{\mathrm F})$ を $D^*$ に替えるだけになり、$\gamma/\gamma_0=m^*/m$ である（$\gamma_0$ は自由電子の値）。$f^{\mathrm L}$ は温度で一様に励起したときには打ち消し合って入らない。

スピンの磁化率。磁場 $B$ の中でスピン $\sigma$ の準粒子のエネルギーは $\sigma\mu_{\mathrm B}B$ だけずれる（第4部第1章と同じ向きの取り方）。さらに、スピンが偏ると $f^{\mathrm a}$ の項を通して準粒子のエネルギーがずれる。上下のスピンの数の差を $s=n_{\uparrow}-n_{\downarrow}$ とすると、$f^{\mathrm L}$ の $l=0$ の部分から$\delta\varepsilon ^*_\sigma=\sigma(\mu_{\mathrm B}B+f^{\mathrm a}_0s)$ で、各スピンの数は $\delta n_\sigma=-\frac{D^*}{2}\delta\varepsilon ^*_\sigma$ だけ変わる。$s=\delta n_\uparrow-\delta n_\downarrow=-D^*(\mu_{\mathrm B}B+f^{\mathrm a}_0s)$ を解いて$s=-D^*\mu_{\mathrm B}B/(1+F^{\mathrm a}_0)$、磁化は $M=-\mu_{\mathrm B}s$ なので

$$\chi_{\mathrm m}=\frac{\mu_0\mu_{\mathrm B}^2D^*}{1+F^{\mathrm a}_0},\qquad \frac{\chi_{\mathrm m}}{\chi_{\mathrm m}^{(0)}}=\frac{m^*/m}{1+F^{\mathrm a}_0}\tag{5.1.19}$$

になる（$\chi_{\mathrm m}^{(0)}$ は自由電子の Pauli 常磁性）。$F^{\mathrm a}_0<0$（同じ向きのスピンがそろうと準粒子のエネルギーが下がる）なら磁化率は大きくなり、$F^{\mathrm a}_0\to-1$ で発散する。これは強磁性への不安定性（Stoner の条件）で、第5部第2章・第5部第3章の磁性につながる。

有効質量と圧縮率。正の背景だけの系（ジェリウム）は Galilei 変換で不変なので、運動量の密度は質量の流れの密度に等しい。準粒子の分布を一様にずらすと、運動量は $\sum\hbar\bm{k}\,\delta n_{\bm{k}}$、流れは準粒子自身の速度 $\hbar\bm{k}/m^*$ に、ほかの準粒子の流れが $f^{\mathrm s}_1$ を通して引きずる分を足したものになる。両者を等しいとおくと $\frac1m=\frac{1}{m^*}\bigl(1+\frac{F^{\mathrm s}_1}{3}\bigr)$、すなわち

$$\frac{m^*}{m}=1+\frac{F^{\mathrm s}_1}{3}\tag{5.1.20}$$

である。密度を一様に変えると $f^{\mathrm s}_0$ が同じ働きをして、圧縮率は $\kappa/\kappa_0=(m^*/m)/(1+F^{\mathrm s}_0)$ になる。

Wilson 比。式 (5.1.19) と比熱から、第4部第1章で定義した Wilson 比は

$$R_{\mathrm W}=\frac{\chi_{\mathrm m}/\chi_{\mathrm m}^{(0)}}{\gamma/\gamma_0}=\frac{1}{1+F^{\mathrm a}_0}\tag{5.1.21}$$

になる。有効質量 $m^*/m$ は分子と分母で打ち消し、スピンの間の相互作用 $F^{\mathrm a}_0$ だけが残る。自由電子の $R_{\mathrm W}=1$ からのずれが相互作用の目印になる（第2部第6章）のは、このためである。