出てくるもの1：静的な遮蔽、Thomas–Fermi と Friedel 振動

ハミルトニアンの選び方で固体を考える　第5部 第1章 §5.1.3　★★★ 金属に入れた電荷は、格子間隔より短い距離で完全に遮蔽される。ただし Fermi 面が鋭いので、遮蔽の雲の外側に波長 $\pi/k_{\mathrm F}$ で振動して $r^{-3}$ で減る電荷の揺れ（Friedel 振動）が残る

Thomas–Fermi の遮蔽

電荷 $Q$ の点電荷を電子気体に入れる。$\phi_{\mathrm{ext}}(\bm{q})=Q/(\varepsilon _0q^2)$ を式 (5.1.9) の $\varepsilon _{\mathrm r}$ で割ると $\phi(\bm{q})=Q/\bigl(\varepsilon _0(q^2+q_{\mathrm{TF}}^2)\bigr)$ で、実空間に戻すと

$$\phi(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon _0r}\,\mathrm{e}^{-q_{\mathrm{TF}}r}\tag{5.1.10}$$

になる。裸の Coulomb ポテンシャルが、距離 $1/q_{\mathrm{TF}}$ を超えると指数関数的に消える。これが第4部第2章で不純物の散乱に使った遮蔽された Coulomb ポテンシャルで、そこで使った遮蔽の波数がこの $q_{\mathrm{TF}}$ である。遮蔽された相互作用の Fourier 成分 $e^2/\bigl(\varepsilon _0(q^2+q_{\mathrm{TF}}^2)\bigr)$ は $q\to0$ で有限になる。5.1.1節の Hartree–Fock で速さが発散したのは $q\to0$ の $1/q^2$ のためだったので、遮蔽された相互作用で交換の自己エネルギーを計算し直すと、発散は消える。

遮蔽を担う電荷の分布は、Poisson 方程式 $\rho_{\mathrm{ind}}=-\varepsilon _0\nabla^2\phi-\rho_{\mathrm{ext}}$ から

$$\rho_{\mathrm{ind}}(r)=-\frac{Qq_{\mathrm{TF}}^2}{4\pi r}\mathrm{e}^{-q_{\mathrm{TF}}r}$$

で、全体を積分すると $-Q$ になる。外の電荷はちょうど打ち消される（完全遮蔽）。金属の内部に静電場が入り込めないことの、微視的な言い方である。

Lindhard 関数の全体の形

長波長の近似を外し、静的な Lindhard 関数を全ての $q$ で求める。式 (5.1.5) の2つの項を $\bm{k}\to-\bm{k}-\bm{q}$ でまとめると、絶対零度では$\chi_0(q,0)=\frac{4}{V}\sum_{\lvert \bm{k}\rvert <k_{\mathrm F}}\frac{1}{\varepsilon _{\bm{k}}-\varepsilon _{\bm{k}+\bm{q}}}$（主値）になる。$\varepsilon _{\bm{k}+\bm{q}}-\varepsilon _{\bm{k}}=\frac{\hbar^2}{2m}(2kqu+q^2)$（$u$ は角の余弦）の角の積分を先に行うと $\int_{-1}^{1}\frac{\mathrm{d} u}{2kqu+q^2}=\frac{1}{2kq}\ln\lvert \frac{q+2k}{q-2k}\rvert$ で、残りの $k$ の積分から

$$\chi_0(q,0)=-D(\varepsilon _{\mathrm F})\,L\Bigl(\frac{q}{2k_{\mathrm F}}\Bigr)\tag{5.1.11}$$

を得る。$L$ は Hartree–Fock の式 (5.1.4) と同じ関数である。どちらも「Fermi 球の中の状態について $1/(\text{波数の差})$ の重みで足す」という同じ和なので、同じ関数になる。

$L$ の3つの性質がそのまま物理になる。第1に、$L(0)=1$ で式 (5.1.9) の Thomas–Fermi に戻る。第2に、$q\gg2k_{\mathrm F}$ では $L\approx\frac13(2k_{\mathrm F}/q)^2$ と小さくなり、$\varepsilon _{\mathrm r}\to1$ になる。電子は Fermi 波長より細かい凹凸のポテンシャルには集まりきれないので、短い距離の相互作用はほとんど遮蔽されない。第3に、$q=2k_{\mathrm F}$ で $L$ 自身は連続（値 $1/2$）だが、その傾きが対数的に発散する。$q=2k_{\mathrm F}$ は、Fermi 球の一方の端の電子を反対側の端へ移す波数で、この $q$ を境に「占有された状態から空いた状態へ、エネルギーをほとんど使わずに移れるかどうか」が切り替わる。Fermi 面が鋭いことが、$q$ の関数の角として残る。

Friedel 振動

$q=2k_{\mathrm F}$ の角は、実空間では遠方まで続く振動になる。最も簡単な場合として、原点に置いた短距離のポテンシャル $u(\bm{r})=u_0\delta^{(3)}(\bm{r})$ に対する、相互作用しない電子の密度の変化 $\delta n(r)=u_0\chi_0(r)$ を計算する。$\chi_0(r)=\int\frac{\mathrm{d}^3q}{(2\pi)^3}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{q}\cdot\bm{r}}\chi_0(q,0)$ を式 (5.1.11) から求めると、

$$\chi_0(r)=-\frac{2mk_{\mathrm F}^4}{\pi^3\hbar^2}\,\frac{\sin x-x\cos x}{x^4},\qquad x=2k_{\mathrm F}r\tag{5.1.12}$$

になる（数値の Fourier 変換と照合した）。遠方 $x\gg1$ では

$$\delta n(r)\approx u_0\,\frac{2mk_{\mathrm F}^4}{\pi^3\hbar^2}\,\frac{\cos(2k_{\mathrm F}r)}{(2k_{\mathrm F}r)^3}\tag{5.1.13}$$

で、密度は波長 $\pi/k_{\mathrm F}$（Fermi 波長の半分）で振動しながら $r^{-3}$ で減る。これを Friedel 振動と呼ぶ。Fourier 変換の遠方の振る舞いは、$q$ の関数のいちばん強い特異点で決まる。$\chi_0(q,0)$ は滑らかでない点を $q=2k_{\mathrm F}$ にだけ持つので、遠方の振動の波数は $2k_{\mathrm F}$ になる。Thomas–Fermi の指数関数的な遮蔽 (5.1.10) には振動が無いが、それは $L$ を $L(0)=1$ で置き換えて角を捨てたからである。遮蔽を自己無撞着に入れても、$\varepsilon _{\mathrm r}(q,0)$ の滑らかでない点は同じ $q=2k_{\mathrm F}$ にあるので、振動の波長と $r^{-3}$ の減り方は変わらない。

式 (5.1.12) は、スピンを持つ磁性の不純物が伝導電子のスピンを偏らせる場合にもそのまま使え、離れた2つの磁性の不純物の間に符号が振動する交換相互作用を作る（RKKY 相互作用。第5部第2章）。また、イオンの間の相互作用も電子に遮蔽されるので、フォノンの分散 $\omega(\bm{q})$ も $q=2k_{\mathrm F}$ で傾きが変わる（Kohn 異常）。