出てくるもの（1）：3つの周波数帯と表皮の深さ

光学と量子エレクトロニクス　第13章 §13.3　★★★ $\omega\ll\gamma$ では反射率が直流の伝導度で決まり（Hagen–Rubens）、$\gamma\ll\omega\ll\omega_{\mathrm p}$ では $R\approx1-2\gamma/\omega_{\mathrm p}$ で光は深さ $c/\omega_{\mathrm p}$ までしか入らず、$\omega>\omega_{\mathrm p}$ で透明になる

金属では $\gamma\ll\omega_{\mathrm p}$ が普通に成り立つ（銅に近い値で $\hbar\gamma\approx0.03\,\mathrm{eV}$、$\hbar\omega_{\mathrm p}\approx10\,\mathrm{eV}$。例題 13.3）。そのため、周波数の軸は $\gamma$ と $\omega_{\mathrm p}$ の2点で3つの帯に分かれ、各帯で (13.3) を簡単な形に近似することができる。この節と次の節では $\varepsilon_{\mathrm b}=1$ とする。

低い周波数 $\omega\ll\gamma$：Hagen–Rubens の帯

$\omega\ll\gamma$ では $\sigma(\omega)\approx\sigma_0$ で、(13.2) の第2項 $\mathrm{i}\sigma_0/(\varepsilon_0\omega)$ が $1$ よりはるかに大きい。$\sqrt{\mathrm{i}}=(1+\mathrm{i})/\sqrt2$ から

$$\tilde n\approx(1+\mathrm{i})\sqrt{\frac{\sigma_0}{2\varepsilon_0\omega}},\qquad n=\kappa\gg1$$

で、(13.8) に $n=\kappa=N$ を入れると $R=(2N^2-2N+1)/(2N^2+2N+1)\approx1-2/N$、すなわち

$$R\approx1-\sqrt{\frac{8\varepsilon_0\omega}{\sigma_0}}\tag{13.11}$$

である。これが Hagen–Rubens の関係で、赤外の反射率が直流の伝導度だけで決まることを言う。表皮の深さは (13.7) から

$$\delta_{\mathrm s}=\sqrt{\frac{2}{\mu_0\sigma_0\omega}}\tag{13.12}$$

で、電気回路で習う表皮効果の式そのものである。この帯では光も交流の電流も同じ式に従う。

中間の周波数 $\gamma\ll\omega\ll\omega_{\mathrm p}$：緩和の帯

$\omega\gg\gamma$ では電子が1回衝突するまでに何回も振動するので、衝突は小さな補正になる。(13.4) は $\varepsilon_1\approx-\omega_{\mathrm p}^2/\omega^2$, $\varepsilon_2\approx\gamma\omega_{\mathrm p}^2/\omega^3$ で、$\lvert \varepsilon_1\rvert \gg\varepsilon_2$ である。$\sqrt{-a+\mathrm{i} b}=\mathrm{i}\sqrt a\sqrt{1-\mathrm{i} b/a}\approx\mathrm{i}\sqrt a+b/(2\sqrt a)$（$0<b\ll a$）から

$$n\approx\frac{\gamma\omega_{\mathrm p}}{2\omega^2},\qquad \kappa\approx\frac{\omega_{\mathrm p}}{\omega}$$

となり、(13.8) の $1-R\approx4n/\kappa^2$ に入れて

$$R\approx1-\frac{2\gamma}{\omega_{\mathrm p}},\qquad \delta_{\mathrm s}\approx\frac{c}{\omega_{\mathrm p}}\tag{13.13}$$

を得る。反射率も表皮の深さも周波数によらない。電子は電場と逆位相で動いて内部の電場を打ち消し、打ち消しきれない分が深さ $c/\omega_{\mathrm p}$ の層に残る。吸収されるのは、その層の中で電子が衝突するときに失う割合 $2\gamma/\omega_{\mathrm p}$ だけである。可視光に対して金属が鏡になるのは、可視光がこの帯に入るからである。

高い周波数 $\omega>\omega_{\mathrm p}$：透明の帯

$\omega>\omega_{\mathrm p}$ では $\varepsilon_1>0$ になり、$\gamma$ を無視すると $\tilde n=\sqrt{1-\omega_{\mathrm p}^2/\omega^2}$ は実数である。光は減衰せずに進み、反射率は $R=((1-n)/(1+n))^2$ に下がる。$\omega$ が $\omega_{\mathrm p}$ を超えると、電子は慣性のために電場に追いつけず、電場を打ち消す分極を作ることができない。金属は誘電体と同じに光を通す。

図 13.1 に $n$ と $\kappa$ を、図 13.2 に $1-R$ を示す。3つの帯の境 $\omega\approx\gamma$ と $\omega=\omega_{\mathrm p}$ で、近似の形が切り替わる。