当てる道具：光学定数・反射率・総和則

光学と量子エレクトロニクス　第13章 §13.2　★★ $\varepsilon_{\mathrm r}$ から屈折率・消衰係数・垂直入射の反射率を出す。Drude の式は因果律を満たし、$\gamma$ によらず総和則 $\int\omega\varepsilon_2\,\mathrm{d}\omega=\pi\omega_{\mathrm p}^2/2$ を満たす

屈折率・表皮の深さ・反射率

第10章（第10章）で定めたとおり、複素屈折率は $\tilde n=n+\mathrm{i}\kappa=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}$（$\kappa\ge0$ の枝）で、実部と虚部は

$$n=\sqrt{\frac{\lvert \varepsilon_{\mathrm r}\rvert +\varepsilon_1}{2}},\qquad \kappa=\sqrt{\frac{\lvert \varepsilon_{\mathrm r}\rvert -\varepsilon_1}{2}}\tag{13.6}$$

である。$z$ 方向に進む平面波は $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\tilde n\omega z/c}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\omega z/c}\mathrm{e}^{-\kappa\omega z/c}$ なので、強度の吸収係数は第10章の $\alpha_{\mathrm{abs}}=2\kappa\omega/c$、振幅が $1/\mathrm{e}$ になる深さは

$$\delta_{\mathrm s}=\frac{c}{\kappa\omega}=\frac{2}{\alpha_{\mathrm{abs}}}\tag{13.7}$$

である。金属ではこれを表皮の深さと呼ぶ（変分の $\delta$ と区別するため添字 s を付ける）。$\varepsilon_1<0$ で $\varepsilon_2$ が小さいときは $n\ll\kappa$ で、波は進まずに減衰する。

真空から垂直に入射した光の反射率は、第14章（第14章）で境界条件から導く Fresnel の式の垂直入射の場合

$$R=\lvert \frac{\tilde n-1}{\tilde n+1}\rvert ^2=\frac{(n-1)^2+\kappa^2}{(n+1)^2+\kappa^2}\tag{13.8}$$

で与えられる。この章ではこの式を結果として使う。$\kappa\gg1$ なら $n$ によらず $R\approx1$ で、$1-R$ は $n$ に比例する。金属の反射の強さを決めるのは、$\kappa$ が大きいことと $n$ が小さいことの2つである。

因果律と Kramers–Kronig の関係

第12章（第12章）では、応答関数が上半面で正則で無限遠で $0$ に近づくことから Kramers–Kronig の関係を出した。(13.3) の $\varepsilon_{\mathrm r}-\varepsilon_{\mathrm b}$ は $\omega=0$ と $\omega=-\mathrm{i}\gamma$ に極を持つ。下半面の極 $-\mathrm{i}\gamma$ は、電流が時間 $\tau$ で減衰することを表し、因果律と矛盾しない。実軸上の極 $\omega=0$ は、一定の電場で電流が流れ続けることを表す。この極があるために、$\varepsilon_2$ から $\varepsilon_1$ を出す向きの関係

$$\varepsilon_1(\omega)-\varepsilon_{\mathrm b}=\frac{2}{\pi}\,\mathrm{P}\!\int_0^\infty\frac{\omega'\varepsilon_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}\,\mathrm{d}\omega'\tag{13.9}$$

はそのまま成り立つが（分子の $\omega'$ が $\varepsilon_2$ の $1/\omega'$ を打ち消す）、逆向きの関係には $\sigma_0/(\varepsilon_0\omega)$ の項を足す必要がある。

総和則

$\omega$ が大きいとき (13.4) は $\varepsilon_1\to\varepsilon_{\mathrm b}-\omega_{\mathrm p}^2/\omega^2$ になる。一方 (13.9) の右辺は、$\omega$ が $\varepsilon_2$ の広がりより十分大きいとき $-\frac{2}{\pi\omega^2}\int_0^\infty\omega'\varepsilon_2\,\mathrm{d}\omega'$ に近づく。2つを比べると

$$\int_0^\infty\omega\,\varepsilon_2(\omega)\,\mathrm{d}\omega=\frac{\pi}{2}\,\omega_{\mathrm p}^2=\frac{\pi}{2}\frac{n_{\mathrm e}e^2}{\varepsilon_0m}\tag{13.10}$$

を得る。第12章の総和則を伝導電子に当てはめたものである。Drude の式では直接 $\int_0^\infty\gamma\omega_{\mathrm p}^2\,\mathrm{d}\omega/(\omega^2+\gamma^2)=\frac{\pi}{2}\omega_{\mathrm p}^2$ と確かめられ、結果は $\gamma$ によらない。衝突は吸収の山の形と幅を変えるが、山の面積は電子の数だけで決まる。面積が電子の数だけで決まるのは、高い周波数では束縛があっても無くても電子が同じに振る舞うからである（例題 13.1 の (2)）。