相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第3部 第4章 §3.4.3 ★★ 1組の純粋状態の変換は E E E
E E E 定理 3.4.5 から、LOCC で ∣ Ψ ⟩ | \Psi \rangle ∣Ψ ⟩ ∣ Φ ⟩ | \Phi \rangle ∣Φ ⟩ E ( Φ ) ≤ E ( Ψ ) E(\Phi)\le E(\Psi) E ( Φ ) ≤ E ( Ψ ) E ( Φ ) ≤ E ( Ψ ) E(\Phi)\le E(\Psi) E ( Φ ) ≤ E ( Ψ ) E E E λ \lambda λ
定義 3.4.8（majorization）
長さ r r r λ \lambda λ μ \mu μ 0 0 0 Λ k = ∑ i ≤ k λ i \Lambda_k=\sum_{i\le k}\lambda_i Λ k = ∑ i ≤ k λ i M k = ∑ i ≤ k μ i M_k=\sum_{i\le k}\mu_i M k = ∑ i ≤ k μ i k k k Λ k ≤ M k \Lambda_k\le M_k Λ k ≤ M k λ \lambda λ μ \mu μ majorize される といい、λ ≺ μ \lambda\prec\mu λ ≺ μ
λ ≺ μ \lambda\prec\mu λ ≺ μ λ \lambda λ μ \mu μ ( 1 / r , … , 1 / r ) (1/r,\dots,1/r) ( 1/ r , … , 1/ r ) ( 1 , 0 , … , 0 ) (1,0,\dots,0) ( 1 , 0 , … , 0 ) k k k 3.4.2 ）、λ ≺ μ \lambda\prec\mu λ ≺ μ λ \lambda λ μ \mu μ λ ≺ μ \lambda\prec\mu λ ≺ μ λ \lambda λ μ \mu μ H ( λ ) ≥ H ( μ ) H(\lambda)\ge H(\mu) H ( λ ) ≥ H ( μ )
定理 3.4.9（Nielsen の定理 ★★）
Schmidt 係数がそれぞれ λ \lambda λ μ \mu μ ∣ Ψ ⟩ | \Psi \rangle ∣Ψ ⟩ ∣ Φ ⟩ | \Phi \rangle ∣Φ ⟩ ∣ Ψ ⟩ | \Psi \rangle ∣Ψ ⟩ 1 1 1 ∣ Φ ⟩ | \Phi \rangle ∣Φ ⟩ λ ≺ μ \lambda\prec\mu λ ≺ μ
M. A. Nielsen が示した1 1 M. A. Nielsen (1999), Physical Review Letters 83 , 436–439。2 2 H.-K. Lo and S. Popescu (2001), Physical Review A 63 , 022301。M ^ j \hat M_j M ^ j j j j M ^ j ρ ^ A Ψ M ^ j † / p j \hat M_j\hat\rho_A^\Psi\hat M_j^\dagger/p_j M ^ j ρ ^ A Ψ M ^ j † / p j ρ ^ A Φ \hat\rho_A^\Phi ρ ^ A Φ ρ ^ A Ψ = ∑ j p j V ^ j ρ ^ A Φ V ^ j † \hat\rho_A^\Psi=\sum_jp_j\hat V_j\hat\rho_A^\Phi\hat V_j^\dagger ρ ^ A Ψ = ∑ j p j V ^ j ρ ^ A Φ V ^ j † V ^ j \hat V_j V ^ j k k k Λ k \Lambda_k Λ k M k M_k M k Λ k ≤ M k \Lambda_k\le M_k Λ k ≤ M k
図 3.4.2 例題 3.4.3 の2つの分布の Lorenz 曲線（部分和 Λ k \Lambda_k Λ k M k M_k M k k = 1 k=1 k = 1 μ \mu μ k = 2 k=2 k = 2 λ \lambda λ
E E E 1組の状態には「大きな λ 1 \lambda_1 λ 1 E E E E E E 第1部第2章 ）と同じで、n n n ∣ Ψ ⟩ ⊗ n | \Psi \rangle ^{\otimes n} ∣Ψ ⟩ ⊗ n n n n e n E ( Ψ ) \mathrm{e}^{nE(\Psi)} e n E ( Ψ ) E E E 3.4.5 節の蒸留である。
例題 3.4.3 変えられない2つの状態と、Bell 状態からの変換 ★★
オリジナル 3準位どうしの純粋状態 ∣ Ψ ⟩ | \Psi \rangle ∣Ψ ⟩ ∣ Φ ⟩ | \Phi \rangle ∣Φ ⟩ λ = ( 0.5 , 0.4 , 0.1 ) \lambda=(0.5,0.4,0.1) λ = ( 0.5 , 0.4 , 0.1 ) μ = ( 0.6 , 0.2 , 0.2 ) \mu=(0.6,0.2,0.2) μ = ( 0.6 , 0.2 , 0.2 )
E ( Ψ ) E(\Psi) E ( Ψ ) E ( Φ ) E(\Phi) E ( Φ ) LOCC で ∣ Ψ ⟩ → ∣ Φ ⟩ | \Psi \rangle \to| \Phi \rangle ∣Ψ ⟩ → ∣Φ ⟩ ∣ Φ ⟩ → ∣ Ψ ⟩ | \Phi \rangle \to| \Psi \rangle ∣Φ ⟩ → ∣Ψ ⟩ 1 1 1 E E E
2量子ビットの ∣ Φ + ⟩ | \Phi^+ \rangle ∣ Φ + ⟩ ∣ χ ⟩ = 3 / 4 ∣ 00 ⟩ + 1 / 4 ∣ 11 ⟩ | \chi \rangle =\sqrt{3/4}\,| 00 \rangle +\sqrt{1/4}\,| 11 \rangle ∣ χ ⟩ = 3/4 ∣00 ⟩ + 1/4 ∣11 ⟩ 1 1 1
解答 (1) E ( Ψ ) = − 0.5 ln 0.5 − 0.4 ln 0.4 − 0.1 ln 0.1 = 0.9433 E(\Psi)=-0.5\ln0.5-0.4\ln0.4-0.1\ln0.1=0.9433 E ( Ψ ) = − 0.5 ln 0.5 − 0.4 ln 0.4 − 0.1 ln 0.1 = 0.9433 E ( Φ ) = − 0.6 ln 0.6 − 2 × 0.2 ln 0.2 = 0.9503 E(\Phi)=-0.6\ln0.6-2\times0.2\ln0.2=0.9503 E ( Φ ) = − 0.6 ln 0.6 − 2 × 0.2 ln 0.2 = 0.9503
(2) 部分和は λ \lambda λ ( 0.5 , 0.9 , 1 ) (0.5,\ 0.9,\ 1) ( 0.5 , 0.9 , 1 ) μ \mu μ ( 0.6 , 0.8 , 1 ) (0.6,\ 0.8,\ 1) ( 0.6 , 0.8 , 1 ) k = 1 k=1 k = 1 0.5 < 0.6 0.5<0.6 0.5 < 0.6 k = 2 k=2 k = 2 0.9 > 0.8 0.9>0.8 0.9 > 0.8 λ ≺ μ \lambda\prec\mu λ ≺ μ μ ≺ λ \mu\prec\lambda μ ≺ λ 3.4.2 ）。Nielsen の定理からどちら向きも確率 1 1 1 ∣ Ψ ⟩ → ∣ Φ ⟩ | \Psi \rangle \to| \Phi \rangle ∣Ψ ⟩ → ∣Φ ⟩ E E E ∣ Φ ⟩ → ∣ Ψ ⟩ | \Phi \rangle \to| \Psi \rangle ∣Φ ⟩ → ∣Ψ ⟩ E E E 0.9503 0.9503 0.9503 0.9433 0.9433 0.9433 E E E
(3) ( 1 / 2 , 1 / 2 ) ≺ ( 3 / 4 , 1 / 4 ) (1/2,1/2)\prec(3/4,1/4) ( 1/2 , 1/2 ) ≺ ( 3/4 , 1/4 ) a = 3 / 4 a=\sqrt{3/4} a = 3/4 b = 1 / 4 b=\sqrt{1/4} b = 1/4
M ^ 1 = a ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + b ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ , M ^ 2 = b ∣ 0 ⟩ ⟨ 0 ∣ + a ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ \hat M_1=a| 0 \rangle \langle 0 |+b| 1 \rangle \langle 1 |,\qquad \hat M_2=b| 0 \rangle \langle 0 |+a| 1 \rangle \langle 1 | M ^ 1 = a ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + b ∣1 ⟩ ⟨ 1∣ , M ^ 2 = b ∣0 ⟩ ⟨ 0∣ + a ∣1 ⟩ ⟨ 1∣
の測定をする。M ^ 1 † M ^ 1 + M ^ 2 † M ^ 2 = ( a 2 + b 2 ) 1 = 1 \hat M_1^\dagger\hat M_1+\hat M_2^\dagger\hat M_2=(a^2+b^2)\mathbf 1=\mathbf 1 M ^ 1 † M ^ 1 + M ^ 2 † M ^ 2 = ( a 2 + b 2 ) 1 = 1 ( M ^ 1 ⊗ 1 ) ∣ Φ + ⟩ = ( a ∣ 00 ⟩ + b ∣ 11 ⟩ ) / 2 (\hat M_1\otimes\mathbf 1)| \Phi^+ \rangle =(a| 00 \rangle +b| 11 \rangle )/\sqrt2 ( M ^ 1 ⊗ 1 ) ∣ Φ + ⟩ = ( a ∣00 ⟩ + b ∣11 ⟩) / 2 1 / 2 1/2 1/2 ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩ b ∣ 00 ⟩ + a ∣ 11 ⟩ b| 00 \rangle +a| 11 \rangle b ∣00 ⟩ + a ∣11 ⟩ X X X ( X ⊗ X ) ( b ∣ 00 ⟩ + a ∣ 11 ⟩ ) = b ∣ 11 ⟩ + a ∣ 00 ⟩ = ∣ χ ⟩ (X\otimes X)(b| 00 \rangle +a| 11 \rangle )=b| 11 \rangle +a| 00 \rangle =| \chi \rangle ( X ⊗ X ) ( b ∣00 ⟩ + a ∣11 ⟩) = b ∣11 ⟩ + a ∣00 ⟩ = ∣ χ ⟩ ∣ χ ⟩ | \chi \rangle ∣ χ ⟩ E E E ln 2 = 0.6931 \ln2=0.6931 ln 2 = 0.6931 h b ( 1 / 4 ) = 0.5623 h_{\mathrm b}(1/4)=0.5623 h b ( 1/4 ) = 0.5623
1 M. A. Nielsen (1999), Physical Review Letters 83 , 436–439。
2 H.-K. Lo and S. Popescu (2001), Physical Review A 63 , 022301。
AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com
