出てくるもの（2）：重力波が運ぶエネルギーと四重極公式

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第18章 §2.18.4　★★★ 2次の作用からエネルギーの流れ $c^3\langle\dot h_+^2+\dot h_\times^2\rangle/(16\pi G)$ を、遅延解から四重極公式 $P=\frac{G}{5c^5}\langle\dddot Q_{ij}\dddot Q_{ij}\rangle$ を出す

エネルギー密度とエネルギーの流れ

TT ゲージでは (2.18.5) の後ろの3項が消え、$\mathcal L_2=\frac{c^4}{64\pi G}\partial_\lambda h_{ij}\partial^\lambda h_{ij}$ だけが残る（$i,j$ について和）。$+z$ 方向に進む波で $h_+$ と $h_\times$ を変数として書くと、$h_{ij}h_{ij}$ には $h_+$ が2回（$xx$ と $yy$）、$h_\times$ が2回（$xy$ と $yx$）現れるので

$$\mathcal L_2=\frac{c^4}{32\pi G}\Bigl[\frac{1}{c^2}\Bigl(\frac{\partial h_+}{\partial t}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{\partial h_+}{\partial z}\Bigr)^2+\frac{1}{c^2}\Bigl(\frac{\partial h_\times}{\partial t}\Bigr)^2-\Bigl(\frac{\partial h_\times}{\partial z}\Bigr)^2\Bigr]\tag{2.18.20}$$

になる。これは振動する弦（第2部第4章）と同じ形の Lagrangian 密度が2つ並んだものである。第2部第7章の正準エネルギー運動量テンソルを当てると、エネルギー密度 $u$ とエネルギーの流れ $S_z$ は

$$u=\sum_{a=+,\times}\Bigl(\frac{\partial \mathcal L_2}{\partial \dot h_a}\dot h_a\Bigr)-\mathcal L_2,\qquad S_z=\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L_2}{\partial (\partial_zh_a)}\dot h_a\tag{2.18.21}$$

で、進む波 $h_a=h_a(t-z/c)$ では

$$u=\frac{c^2}{16\pi G}\bigl(\dot h_+^2+\dot h_\times^2\bigr),\qquad S_z=cu=\frac{c^3}{16\pi G}\bigl(\dot h_+^2+\dot h_\times^2\bigr)\tag{2.18.22}$$

になる。

遅延解と四重極の恒等式

源がある場合は (2.18.14) を解く。$\Box\psi=s$ の遅延解は $\psi(t,\bm{x})=\int\frac{s(t-\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert /c,\bm{x}')}{4\pi\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert }\mathrm{d}^3x'$ なので

$$\bar h_{\mu\nu}(t,\bm{x})=-\frac{4G}{c^4}\int\frac{T_{\mu\nu}(t-\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert /c,\bm{x}')}{\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert }\,\mathrm{d}^3x'\tag{2.18.23}$$

である（静的なら $\bar h_{00}=4\Phi/c^2$ で、Newton のポテンシャル $\Phi=-G\int\rho/\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert$ を再現する）。源の大きさ $d$ が放射の波長より十分小さい（源の運動が光速より十分遅い）とき、遠方 $r=\lvert \bm{x}\rvert \gg d$ では分母を $r$、遅れを $t-r/c$ で置き換えてよく、空間成分は

$$\bar h_{ij}\approx-\frac{4G}{c^4r}\int T_{ij}(t-r/c,\bm{x}')\,\mathrm{d}^3x'\tag{2.18.24}$$

になる。この積分は、エネルギー運動量の保存 $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ を2回使うと質量分布の2次のモーメントで書ける。$\partial_0T^{00}+\partial_kT^{k0}=0$ と $\partial_0T^{0i}+\partial_kT^{ki}=0$ に $x^ix^j$ や $x^j$ を掛けて部分積分すると、表面の項が消えて

$$\int T^{ij}\,\mathrm{d}^3x=\frac12\frac{\mathrm{d}^2I^{ij}}{\mathrm{d} t^2},\qquad I^{ij}(t)\coloneqq\int\rho(t,\bm{x})\,x^ix^j\,\mathrm{d}^3x\tag{2.18.25}$$

が出る（$T^{00}=\rho c^2$ を使った。$T_{ij}=T^{ij}$ は2つの添字を下げて符号が2回変わるため）。物質が自分の重力で結びついているときは、$T^{ij}$ に重力の応力も含めて (2.18.25) が成り立つ（例題 2.18.4）。

以上を合わせ、TT 部分（進む向き $\bm{n}$ に垂直な面へ射影して跡を除いたもの）を取ると、観測者の見るひずみは

$$\hat h_{ij}^{\mathrm{TT}}(t,\bm{x})=\frac{2G}{c^4r}\,\ddot I_{ij}^{\mathrm{TT}}(t-r/c)\tag{2.18.26}$$

である（$\hat h_{ij}=-h_{ij}$ で符号が反転する）。これを (2.18.22) の流れに入れて全方向で積分すると、TT 射影の角度平均の計算から

$$P=\frac{G}{5c^5}\Bigl\langle\sum_{i,j}\dddot Q_{ij}\dddot Q_{ij}\Bigr\rangle,\qquad Q_{ij}\coloneqq I_{ij}-\tfrac13\delta_{ij}\sum_kI_{kk}\tag{2.18.27}$$

が出る。これが四重極公式で、Einstein（1918）が線形化した方程式から導いた（A. Einstein（1918）、Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss.、154）。角度の積分は総合問題で円軌道の連星について実際に行い、(2.18.27) と一致することを確かめる。

連星の放射

質量 $m_1,m_2$ の2つの星が、相対距離 $a$・角振動数 $\Omega$ の円軌道を回る場合に当てる。全質量を $M=m_1+m_2$、換算質量を $m_{\mathrm r}=m_1m_2/M$ と書くと、重心系では$I_{ij}=m_{\mathrm r}x^ix^j$（$x=a\cos\Omega t$、$y=a\sin\Omega t$）で、Kepler の法則 $\Omega^2=GM/a^3$（第2部第1章の中心力）が成り立つ。$I_{xx}=\frac{m_{\mathrm r}a^2}{2}(1+\cos2\Omega t)$ のように、四重極モーメントは公転の2倍の角振動数 $2\Omega$ で振動する。3階微分を (2.18.27) に入れると、円軌道では時間平均を取る前から一定で

$$P=\frac{32}{5}\frac{G}{c^5}m_{\mathrm r}^2a^4\Omega^6=\frac{32}{5}\frac{G^4m_{\mathrm r}^2M^3}{c^5a^5}\tag{2.18.28}$$

になる。重力波の周波数は公転の周波数の2倍 $f=\Omega/\pi$ である。