出てくるもの（3）：連星の公転周期の減少とチャープ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第18章 §2.18.5　★★★ 放射の仕事率と軌道のエネルギーの収支から、Hulse–Taylor の周期の減少と GW150914 のチャープ質量が同じ式で出る

エネルギーの収支と軌道の縮み

軌道の1周期のあいだに失うエネルギーが軌道のエネルギーに比べて十分小さいとき、軌道は各時刻で円軌道のまま、半径 $a$ がゆっくり縮むとみなせる。軌道のエネルギー $E=-GMm_{\mathrm r}/(2a)$ の減る速さを放射の仕事率 (2.18.28) に等しいと置くと、$\mathrm{d} E/\mathrm{d} t=\frac{GMm_{\mathrm r}}{2a^2}\dot a=-P$ から

$$\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}=-\frac{64}{5}\frac{G^3m_{\mathrm r}M^2}{c^5a^3}\tag{2.18.29}$$

を得る。$a^3\mathrm{d} a=-\beta\,\mathrm{d} t$（$\beta=\frac{64}{5}G^3m_{\mathrm r}M^2/c^5$）を積分すると、半径 $a_0$ から合体（$a=0$）までの時間は

$$\tau=\frac{a_0^4}{4\beta}=\frac{5}{256}\frac{c^5a_0^4}{G^3m_{\mathrm r}M^2}\tag{2.18.30}$$

である。

公転周期 $P_{\mathrm b}=2\pi/\Omega$ は Kepler の法則で $P_{\mathrm b}\propto a^{3/2}$ なので $\dot P_{\mathrm b}/P_{\mathrm b}=\frac32\dot a/a$ で、(2.18.29) を $P_{\mathrm b}$ で書き直すと

$$\frac{\mathrm{d} P_{\mathrm b}}{\mathrm{d} t}=-\frac{192\pi}{5}\frac{G^{5/3}}{c^5}\Bigl(\frac{P_{\mathrm b}}{2\pi}\Bigr)^{-5/3}\frac{m_1m_2}{M^{1/3}}\,f(e),\qquad f(e)=\frac{1+\frac{73}{24}e^2+\frac{37}{96}e^4}{(1-e^2)^{7/2}}\tag{2.18.31}$$

になる。$f(e)$ は離心率 $e$ の楕円軌道に対する補正因子で、円軌道では $f(0)=1$ である（楕円軌道の放射を1周期で平均した Peters と Mathews の結果。P. C. Peters and J. Mathews（1963）、Phys. Rev. 131、435）。近い点で速く動くと $\dddot Q$ が大きくなるので、離心率が大きいほど放射は強い。

Hulse–Taylor の連星パルサー

1974 年に Hulse と Taylor は、中性子星どうしの連星の片方がパルサー（自転に合わせて電波のパルスを出す中性子星）である系 PSR B1913+16 を見つけた（R. A. Hulse and J. H. Taylor（1975）、Astrophys. J. 195、L51）。パルスの到着時刻を数十年追うと、公転周期・離心率・2つの星の質量が精密に決まり、公転周期の減少も測れる。30 年余りの観測をまとめた Weisberg・Nice・Taylor の値は、$P_{\mathrm b}=0.322997448911\,$日（約 7.75 時間）、$e=0.6171334$、$m_1=1.4398\,M_\odot$、$m_2=1.3886\,M_\odot$ で、銀河の中での加速度による見かけの変化を補正した周期の変化率は $\dot P_{\mathrm b}=(-2.396\pm0.005)\times10^{-12}$ である（J. M. Weisberg, D. J. Nice and J. H. Taylor（2010）、Astrophys. J. 722、1030）。

チャープとチャープ質量

(2.18.29) を重力波の周波数 $f=\Omega/\pi$ で書き直す。$\Omega^2=GM/a^3$ から $a=(GM/(\pi f)^2)^{1/3}$ を入れると、質量は

$$\mathcal M\coloneqq\frac{(m_1m_2)^{3/5}}{M^{1/5}}=m_{\mathrm r}^{3/5}M^{2/5}\tag{2.18.32}$$

という1つの組み合わせでしか現れず、

$$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\frac{96}{5}\pi^{8/3}\Bigl(\frac{G\mathcal M}{c^3}\Bigr)^{5/3}f^{11/3},\qquad \tau(f)=\frac{5}{256}\Bigl(\frac{G\mathcal M}{c^3}\Bigr)^{-5/3}(\pi f)^{-8/3}=\frac38\frac{f}{\dot f}\tag{2.18.33}$$

になる。$\tau(f)$ は周波数 $f$ から合体までの時間である。$\mathcal M$ をチャープ質量と呼ぶ。周波数とその変化率を測れば、距離も軌道の傾きも知らずに $\mathcal M$ が決まる。$\dot f\propto f^{11/3}$ なので、合体が近づくほど周波数も振幅も急に上がる（図 2.18.3）。この「さえずり」に似た信号をチャープと呼ぶ。振幅は軸上で

$$h_0=\frac{4}{c^4r}(G\mathcal M)^{5/3}(\pi f)^{2/3}\tag{2.18.34}$$

である（総合問題 (2) で導く）。

2015 年 9 月 14 日に LIGO の2台の検出器は、周波数が 35 Hz から 250 Hz まで上がるチャープを観測し、ひずみの最大は $1.0\times10^{-21}$ だった。信号は質量 $36\,M_\odot$ と $29\,M_\odot$ のブラックホールの合体で説明され、検出器の座標で読んだチャープ質量は約 $30\,M_\odot$、距離は 410 Mpc（赤方偏移 $z=0.09$）、重力波として放出されたエネルギーは $3.0\,M_\odot c^2$ である（B. P. Abbott et al.（LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration）（2016）、Phys. Rev. Lett. 116、061102）。