授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第18章 §2.18.6　★★ 電磁気の Lorenz ゲージの波動方程式と双極子放射・Newton のポテンシャルが、この章の式のどこに当たるかを並べる

波動方程式とゲージ

解析力学を使わない電磁気の授業では、ポテンシャルに Lorenz 条件を課して

$$\Bigl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-\nabla^2\Bigr)\phi=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad\Bigl(\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-\nabla^2\Bigr)\bm{A}=\mu_0\bm{J},\qquad \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{A}=0$$

と書く。共変形では $\Box A^\mu=\mu_0J^\mu$、$\partial_\mu A^\mu=0$ である。この章の (2.18.14) と (2.18.13) は

$$\Box\bar h_{\mu\nu}=-\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu},\qquad\partial^\mu\bar h_{\mu\nu}=0$$

で、1本の添字が2本に、4元電流 $J^\mu$ がエネルギー運動量テンソル $T_{\mu\nu}$ に替わった形をしている。右辺の符号が電磁気と逆なのは、2.18.1節で第2部第15章の式 (2.15.21) から見たとおり、静的な場の項 $-(\nabla\Phi)^2/(8\pi G)$ の符号が静電場と逆であることと同じで、同じ符号の源が引き合うことに対応する。電磁気の遅延ポテンシャル $\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(t_{\mathrm r})}{\lvert \bm{x}-\bm{x}'\rvert }\mathrm{d}^3x'$ が (2.18.23) に当たる。

双極子放射が無い理由

授業の電磁波の放射では、電気双極子モーメント $\bm{p}=\sum q\bm{x}$ の2階微分で放射の仕事率が決まる（Larmor の式 $P=\frac{\mu_0}{6\pi c}\lvert \ddot{\bm{p}}\rvert ^2$。第2部第9章）。重力で同じことをすると、質量の双極子モーメント $\sum m\bm{x}$ の2階微分は全運動量の時間微分で、運動量の保存によって $0$ になる。磁気双極子に当たる $\sum m\,\bm{x}\times\dot{\bm{x}}$ は全角運動量で、これも保存する。重力で最初に残る放射が四重極になるのは、源の運動量と角運動量の保存（第1部第10章の Noether の定理）による。四重極放射の仕事率は双極子より $(v/c)^2$ だけ小さく、$c^{-5}$ が付くのはそのためである。

Newton のポテンシャル

授業の Newton の重力は $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ と $\ddot{\bm{x}}=-\nabla\Phi$ で書かれる。この章の式では、静的な (2.18.14) の $00$ 成分が Poisson 方程式で、解 $\bar h_{00}=4\Phi/c^2$ が Newton のポテンシャルにあたる（2.18.2節）。運動方程式の側は、第2部第12章で示したとおり測地線方程式の $\Gamma^i{}_{00}=\partial_i\Phi/c^2$ から出る。Newton の重力では、ポテンシャルは瞬時に遠くへ伝わる。$\Box$ の時間微分の項を落として $-\nabla^2$ だけにしたものが Newton の理論で、時間微分の項を戻すと重力の変化は速さ $c$ の波として伝わる。