この章で選ぶ L：源を固定した電磁場の作用

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第9章 §2.9.1　★★★ 源 $\rho,\bm{J}$ を外から決めた関数とし、場の部分（2次）と結合（1次）に分けた作用を選ぶ

前の章までで、電磁場の Lagrangian 密度$\mathcal L=\frac{\varepsilon _0}{2}\bm{E}^2-\frac{1}{2\mu_0}\bm{B}^2-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}$から Maxwell 方程式が出ること（第2部第6章）、時間の並進に対する Noether の定理からPoynting の定理が出ること（第2部第7章）、ポテンシャルにはゲージの自由度があり、それが電荷の保存と組になっていること（第2部第8章）を見た。この章では、同じ Lagrangian を、学部の電磁気学で最初に習う3つの場面に当てはめる。電荷が止まっている静電場、電流が一定の静磁場、そして電荷が加速して電磁波を出す放射である。

3つの場面に共通する操作は1つである。電荷密度 $\rho$ と電流密度 $\bm{J}$ を外から決めた関数として固定し、場（ポテンシャル）について作用を停留させ、その解を作用に戻す。場の部分は2次式、源との結合は1次式なので、停留値は源の2次式になり、場を含まない「源どうしの Lagrangian」が得られる。2.9.2節でこの操作を有限次元の2次形式の補題として準備し、2.9.3節で静電場に当てると、停留値が静電エネルギーの符号を変えたもの $-U_{\mathrm e}$ になり、Coulomb の相互作用と、容量を上から見積もる変分原理（Dirichlet の原理）が出る。2.9.4節で静磁場に当てると、停留値は磁場のエネルギーそのもの $+U_{\mathrm m}$ になり、磁場のエネルギーが Lagrangian の中で運動エネルギーの側に入ることがわかる。インダクタンスは回路の「質量」になる。2.9.5節では時間に依る源を扱う。遅延の解は時間の向きを区別するが、2次形式に入るのは時間について対称な部分だけである。対称な部分からは Darwin の Lagrangian が出て、反対称な部分からは放射の反作用と Larmor の公式が出る。2.9.6節では、学部の授業での書き方（エネルギーの微分で力を出す式、Neumann の公式、遠方の Poynting ベクトルの積分）と並べる。

選ぶ Lagrangian

この章で選ぶ Lagrangian は、電荷密度 $\rho(\bm{r},t)$ と電流密度 $\bm{J}(\bm{r},t)$ を固定したときの電磁場の Lagrangian

$$L[\phi,\bm{A}]=\int\mathrm{d}^3x\,\Bigl[\frac{\varepsilon _0}{2}\bm{E}^2-\frac{1}{2\mu_0}\bm{B}^2-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}\Bigr],\qquad \bm{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial \bm{A}}{\partial t},\quad \bm{B}=\nabla\times\bm{A}\tag{2.9.1}$$

である。共変な形では $\mathcal L=-\frac{1}{4\mu_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-J^\mu A_\mu$ で、$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=2(\bm{B}^2-\bm{E}^2/c^2)$ と$J^\mu A_\mu=\rho\phi-\bm{J}\cdot\bm{A}$ を使うと式 (2.9.1) の被積分関数に戻る。作用は $S=\int L\,\mathrm{d} t$ である。力学変数は場 $\phi(\bm{r},t)$ と $\bm{A}(\bm{r},t)$ で、$\rho$ と $\bm{J}$ は変分しない。$\rho$ と $\bm{J}$ には連続の式$\partial_t\rho+\nabla\cdot\bm{J}=0$ だけを課す。この条件がないと、ゲージ変換 $\phi\to\phi-\partial_t\Lambda$, $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$ で作用が全微分以外の分だけ変わってしまい、作用からゲージの自由度が消える（第2部第8章）。

源を固定するという選び方には、荷電粒子の運動を同時に解かないという意味がある。粒子の運動まで含めた作用は、これに粒子の Lagrangian（第2部第2章の $\frac12m\dot{\bm{r}}^2$ や、第2部第3章の $-mc^2\sqrt{1-v^2/c^2}$）を足したものになる。そのとき $\rho$ と $\bm{J}$ は粒子の位置と速度で書かれ、結合の項 $-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}$ は第2部第2章の一般化ポテンシャル $-q\phi+q\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}$ に戻る。この章では、まず場だけを解き、その結果を粒子の側に戻すという2段の手順を取る。

2つの部分の役割

式 (2.9.1) の被積分関数は、場だけの2次式 $\frac{\varepsilon _0}{2}\bm{E}^2-\frac{1}{2\mu_0}\bm{B}^2$ と、場について1次の結合 $-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}$ に分かれる。場だけの部分のうち、$\bm{E}^2$ は $\partial_t\bm{A}$ を含むので質点の運動エネルギー $\frac12m\dot q^2$ の役をし、$\bm{B}^2$ は空間微分だけを含むので位置エネルギーの役をする。時間に依る場では、この見方のとおり $\bm{E}^2$ が正、$\bm{B}^2$ が負の符号で入る。ところが静的な場では $\partial_t\bm{A}=0$ なので、この区別をそのまま使うことはできない。静電場と静磁場で何が運動エネルギーの側に入るかは、場を消去したあとの源の Lagrangian で決まる。その答えは2.9.3節と2.9.4節で出る。