授業で習った形との対応

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第9章 §2.9.6　★★ エネルギーの微分で力を出す式、Neumann の公式、Kirchhoff の法則、遠方の Poynting ベクトルの積分を、この章の式に並べる

静電場と静磁場

学部の電磁気学では、Coulomb の法則から出発して電位 $\phi$ を定義し、静電エネルギーを $U_{\mathrm e}=\frac12\sum_iq_i\phi(\bm{r}_i)$ あるいは $\frac{\varepsilon _0}{2}\int\bm{E}^2$ と書く。導体に働く力は、電荷を一定にして $F_X=-(\partial U_{\mathrm e}/\partial X)_q$、電位を一定にして $F_X=+(\partial U_{\mathrm e}/\partial X)_V$ と、条件によって符号が変わる2つの式で習う。この章では、前者は式 (2.9.6) の $L_{\mathrm e}^*=-U_{\mathrm e}$ を一般化座標 $X$ で微分したもので、後者は電位を固定した Lagrangian（2.9.3節の Dirichlet の原理の形）に電池の仕事の分を足したものになる。電池が $V\,\Delta q=2\Delta U_{\mathrm e}$ の仕事をするので符号が変わる、という授業の説明は、式 (2.9.3) で結合の項が2次の項の $-2$ 倍になることと同じ内容である。

静磁場では、Biot–Savart の法則$\bm{B}(\bm{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\bm{J}(\bm{r}')\times(\bm{r}-\bm{r}')}{\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert ^3}\mathrm{d}^3x'$から出発し、自己インダクタンスを「磁束 $=MI$」で定義し、エネルギーを $\frac12MI^2$ とする。この章では、Biot–Savart の法則は停留の条件 $\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}$ の解 $\bm{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\bm{J}/R$ の回転で、$\frac12MI^2$ は停留値 $L_{\mathrm m}^*=+U_{\mathrm m}$ である。電流を一定にした力の式 $F_X=+(\partial U_{\mathrm m}/\partial X)_I$ は、授業では「電源が $2\Delta U_{\mathrm m}$ の仕事をするため」と説明されるが、この章の言葉では、電流が速度なので速度を固定した $\partial L/\partial X$ を取る、という式 (2.9.13) になる。

回路の Kirchhoff の電圧則 $M\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}+\frac{q}{C}=\mathcal E(t)$ は、式 (2.9.12) に起電力の項 $\mathcal E(t)q$ を足した$L=\frac12M\dot q^2-q^2/(2C)+\mathcal E(t)q$ の Euler–Lagrange 方程式である。抵抗の電圧降下 $R\dot q$ はこの Lagrangian からは出ない。抵抗は散逸で、時間について対称な作用には入らないからで、2.9.5節の放射の反作用と同じ扱いになる。

放射

授業では、遅延ポテンシャル (2.9.15) を源から遠い所（$R\gg\lambda$）で展開し、遠方の場

$$\bm{E}_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0}{4\pi r}\,\bm{n}\times\bigl(\bm{n}\times\ddot{\bm{d}}(t-r/c)\bigr),\qquad \bm{B}_{\mathrm{rad}}=\frac{1}{c}\,\bm{n}\times\bm{E}_{\mathrm{rad}}\tag{2.9.20}$$

を出す。Poynting ベクトル $\bm{S}=\bm{E}\times\bm{B}/\mu_0$ の大きさは $\lvert \bm{E}_{\mathrm{rad}}\rvert ^2/(\mu_0c)$ で、$\ddot{\bm{d}}$ と $\bm{n}$ のなす角を $\theta$ とすると

$$\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} \Omega}=r^2\lvert \bm{S}\rvert =\frac{\mu_0\ddot{\bm{d}}^{\,2}}{16\pi^2c}\sin^2\theta\tag{2.9.21}$$

となる（図 2.9.3）。これを全立体角で積分して全放射の仕事率を出す。この章の2.9.5節は、同じ量を源の側で出した。源の近くの一様な場 $\bm{E}^{\mathrm{odd}}$ が源にする負の仕事と、遠方の球面を通って出ていく Poynting ベクトルの流れが一致することは、第2部第7章の Poynting の定理$\partial_tu+\nabla\cdot\bm{S}=-\bm{J}\cdot\bm{E}$ が保証している。Larmor の公式を $P=q^2a^2/(6\pi\varepsilon _0c^3)$ と書く教科書もあるが、$\mu_0=1/(\varepsilon _0c^2)$ で式 (2.9.18) と同じである。

図 2.9.3　電気双極子の放射の角度分布 $\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{d} \Omega}\propto\sin^2\theta$ を、原点からの距離で表した図。$\ddot{\bm{d}}$ の向き（縦）には放射せず、垂直な向きで最大になる。長波長の近似（$\omega\ell/c\ll1$）の結果なので実線で描いた