出てくるもの（3）：放射は時間の向きを区別する部分から出る

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第9章 §2.9.5　★★★ 遅延の Green 関数のうち、作用の2次形式に入るのは時間について対称な部分だけ。対称な部分から Darwin の Lagrangian、反対称な部分から放射の反作用と Larmor の公式が出る

時間に依る源の作用

源が時間に依るときは、Lorenz 条件 $\partial_\mu A^\mu=0$ を満たす解を考える。$-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}=-\frac12\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\frac12\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu$ の第2項は部分積分で $\frac12(\partial_\mu A^\mu)^2$ になって消えるので、作用は

$$S=\frac1c\int\mathrm{d}^4x\,\Bigl[\frac{1}{2\mu_0}A_\nu\Box A^\nu-J^\nu A_\nu\Bigr],\qquad \Box A^\nu=\mu_0J^\nu\tag{2.9.14}$$

の形になる（第2部第8章）。これは式 (2.9.2) で $K\leftrightarrow\Box/\mu_0$ としたものである。ところが $\Box=\frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2$ の逆は1つに決まらない。源のない解（入ってくる電磁波）を足しても方程式は満たされるからである。入ってくる波が無いという条件を課すと、遅延の解

$$\phi(\bm{r},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\int\mathrm{d}^3x'\,\frac{\rho(\bm{r}',t-R/c)}{R},\qquad \bm{A}(\bm{r},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\mathrm{d}^3x'\,\frac{\bm{J}(\bm{r}',t-R/c)}{R},\qquad R=\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert\tag{2.9.15}$$

が選ばれる。$t-R/c$ を $t+R/c$ に替えたものが先進の解である。

作用原理は始めと終わりの両端を固定した境界値問題で、「過去に入ってくる波が無い」という初期条件は作用の中に書かれていない。遅延の解を選ぶのは作用の外から加えた条件である。この非対称は作用の停留値にも現れる。遅延の Green 関数 $G_{\mathrm{ret}}(x,x')$ は$x'$ の過去光円錐の上だけで $0$ でなく、$G_{\mathrm{ret}}(x,x')=G_{\mathrm{adv}}(x',x)$ を満たす（図 2.9.2）。2次形式 $\int\!\!\int J(x)G(x,x')J(x')$ では $x$ と $x'$ を入れ替えても値が変わらないので、$G$ の対称な部分$G_{\mathrm{sym}}=\frac12(G_{\mathrm{ret}}+G_{\mathrm{adv}})$ だけが入り、反対称な部分 $\frac12(G_{\mathrm{ret}}-G_{\mathrm{adv}})$ は消える。したがって、場を消去した源の作用は時間について対称なものになり、エネルギーが逃げていく過程（放射）はこの作用から出てこない。放射は、遅延の場と時間対称な場の差 $\frac12(\text{遅延}-\text{先進})$ が源に及ぼす力として、作用の外から現れる。この構造を電荷どうしの直接の相互作用として定式化した理論に、Wheeler と Feynman の吸収体理論がある¹1J. A. Wheeler and R. P. Feynman (1945), Rev. Mod. Phys. 17, 157.下の脚注へ閉じる。

$R/c$ の展開と偶奇の分け方

源が大きさ $\ell$ の領域にあり、その中で時間変化の速さを特徴づける角振動数を $\omega$ とする。$\omega\ell/c\ll1$、つまり源が波長より十分小さいときは、源の近く（$R\lesssim\ell$）で式 (2.9.15) の遅れを Taylor 展開できる。

$$\rho(\bm{r}',t-R/c)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\Bigl(-\frac{R}{c}\Bigr)^n\partial_t^n\rho(\bm{r}',t)$$

で、先進の解は $-R/c$ を $+R/c$ に替えたものなので、$n$ が偶数の項は遅延と先進で等しく、$n$ が奇数の項は符号だけが逆になる。偶数の項が時間対称な部分、奇数の項が $\frac12(\text{遅延}-\text{先進})$ の部分である。

奇数の項：放射の反作用

全体として中性な源を考え、電気双極子モーメントを $\bm{d}=\int\bm{r}\rho\,\mathrm{d}^3x$ とする。連続の式から $\int\bm{J}\,\mathrm{d}^3x=\dot{\bm{d}}$ である。$\phi$ の $n=1$ の項は $-\frac{1}{4\pi\varepsilon _0c}\partial_t\int\rho\,\mathrm{d}^3x'$ で、全電荷が一定なので $0$ になる。$\phi$ の $n=3$ の項は$-\frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\frac{1}{6c^3}\partial_t^3\int R^2\rho\,\mathrm{d}^3x'$ で、$\nabla R^2=2(\bm{r}-\bm{r}')$ と $\int\partial_t^3\rho=0$ から$\nabla\phi^{(3)}=\dddot{\bm{d}}/(12\pi\varepsilon _0c^3)$ になる。$\bm{A}$ の $n=1$ の項は $-\frac{\mu_0}{4\pi c}\int\dot{\bm{J}}\,\mathrm{d}^3x'=-\frac{\mu_0}{4\pi c}\ddot{\bm{d}}$ である。$1/(\varepsilon _0c^2)=\mu_0$ を使って $\bm{E}=-\nabla\phi-\partial_t\bm{A}$ にまとめると、

$$\bm{E}^{\mathrm{odd}}=-\frac{\mu_0}{12\pi c}\dddot{\bm{d}}+\frac{\mu_0}{4\pi c}\dddot{\bm{d}}=\frac{\mu_0}{6\pi c}\,\dddot{\bm{d}}\tag{2.9.16}$$

を得る。これは $\omega\ell/c$ の最低次で場所に依らない一様な場である。この場が源にする仕事は単位時間あたり $\int\bm{J}\cdot\bm{E}^{\mathrm{odd}}\,\mathrm{d}^3x=\dot{\bm{d}}\cdot\bm{E}^{\mathrm{odd}}$ で、源から場へ流れ出すエネルギーの仕事率は

$$P=-\dot{\bm{d}}\cdot\bm{E}^{\mathrm{odd}}=\frac{\mu_0}{6\pi c}\Bigl[\ddot{\bm{d}}^{\,2}-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\bigl(\dot{\bm{d}}\cdot\ddot{\bm{d}}\bigr)\Bigr]\tag{2.9.17}$$

となる。周期運動で時間平均を取ると全微分の項は消え、

$$\langle P \rangle =\frac{\mu_0}{6\pi c}\langle \ddot{\bm{d}}^{\,2} \rangle\tag{2.9.18}$$

が残る。1つの電荷 $q$ が加速度 $\bm{a}$ で動く場合は $\ddot{\bm{d}}=q\bm{a}$ で、これが Larmor の公式 $P=\mu_0q^2a^2/(6\pi c)$ である。振動する双極子 $\bm{d}=\bm{d}_0\cos\omega t$ では $\langle P \rangle =\mu_0d_0^2\omega^4/(12\pi c)$ になる。電荷 $q$、質量 $m$ の粒子は $\bm{E}^{\mathrm{odd}}$ から力 $q\bm{E}^{\mathrm{odd}}=m\tau_0\dddot{\bm{r}}$ を受ける。$\tau_0=\mu_0q^2/(6\pi mc)$ で、電子では $\tau_0=6.27\times10^{-24}\,\mathrm s$ である。この力を Abraham–Lorentz の力という。

偶数の項：Darwin の Lagrangian

偶数の項は時間対称なので、源の Lagrangian に書ける。$n=0$ の項は静的な場の式 (2.9.5) と同じで、2つの点電荷の Coulomb の項と、速度 $\bm{v}_1,\bm{v}_2$ の電流がつくる静磁場の項 $q_1q_2\,\bm{v}_1\cdot\bm{v}_2/(4\pi\varepsilon _0c^2r)$ になる（式 (2.9.10) の $U_{\mathrm m}$ の交差項）。$\phi$ の $n=2$ の項は $\frac{1}{4\pi\varepsilon _0}\frac{1}{2c^2}\partial_t^2\int R\rho\,\mathrm{d}^3x'$ で、これも $1/c^2$ の大きさである（$\bm{A}$ の $n=2$ の項は $1/c^4$ なので無視する）。例題 2.9.5 で計算するとおり、これらを合わせると

$$L_{\mathrm{int}}=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon _0r}+\frac{q_1q_2}{8\pi\varepsilon _0c^2r}\bigl[\bm{v}_1\cdot\bm{v}_2+(\bm{v}_1\cdot\bm{n})(\bm{v}_2\cdot\bm{n})\bigr],\qquad \bm{n}=\frac{\bm{r}_1-\bm{r}_2}{r},\quad r=\lvert \bm{r}_1-\bm{r}_2\rvert\tag{2.9.19}$$

になる。これを Darwin の Lagrangian という²2C. G. Darwin (1920), Phil. Mag. 39, 537.下の脚注へ閉じる。$1/c^2$ の次数までの電荷の運動は、この $L_{\mathrm{int}}$ に各粒子の Lagrangian を足したもので書け、放射は $1/c^3$ の次数で初めて現れる。場の自由度を消去した後で源の運動を Lagrangian で書くことができる範囲は、$1/c^2$ の次数までである。

1　J. A. Wheeler and R. P. Feynman (1945), Rev. Mod. Phys. 17, 157.

2　C. G. Darwin (1920), Phil. Mag. 39, 537.