出てくるもの（2）：磁場のエネルギーは運動エネルギーの側に入る

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第9章 §2.9.4　★★★ 静磁場の停留値は $+U_{\mathrm m}$。電流は速度、インダクタンスは質量で、平行電流が引き合う符号がここで決まる

Ampère の法則と停留値

静磁場の Lagrangian $L_{\mathrm m}[\bm{A}]=\int[-\frac{1}{2\mu_0}(\nabla\times\bm{A})^2+\bm{J}\cdot\bm{A}]\,\mathrm{d}^3x$ を $\bm{A}\to\bm{A}+\delta\bm{A}$ でずらすと、ベクトルの恒等式 $(\nabla\times\bm{A})\cdot(\nabla\times\delta\bm{A})=\nabla\cdot(\delta\bm{A}\times(\nabla\times\bm{A}))+\delta\bm{A}\cdot(\nabla\times\nabla\times\bm{A})$ と部分積分から

$$\delta L_{\mathrm m}=\int\mathrm{d}^3x\,\Bigl[-\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\nabla\times\bm{A}+\bm{J}\Bigr]\cdot\delta\bm{A}$$

を得る。停留の条件は $\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}$ で、静的な場での Ampère の法則である。Coulomb ゲージ $\nabla\cdot\bm{A}=0$ を選べば$\nabla\times\nabla\times\bm{A}=-\nabla^2\bm{A}$ なので、$\bm{A}(\bm{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\bm{J}(\bm{r}')}{\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert }\mathrm{d}^3x'$ が解になる。停留値は、Ampère の法則に $\bm{A}$ を掛けて部分積分した $\frac{1}{\mu_0}\int\bm{B}^2=\int\bm{J}\cdot\bm{A}$ を使って

$$L_{\mathrm m}^*=-U_{\mathrm m}+2U_{\mathrm m}=+U_{\mathrm m},\qquad U_{\mathrm m}=\frac12\int\mathrm{d}^3x\,\bm{J}\cdot\bm{A}=\frac{1}{2\mu_0}\int\mathrm{d}^3x\,\bm{B}^2\tag{2.9.9}$$

になる。場だけの部分は $-U_{\mathrm m}$ で入っていたが、結合の項 $+2U_{\mathrm m}$ を足すと停留値は $+U_{\mathrm m}$ になる。2.9.3節の $L_{\mathrm e}^*=-U_{\mathrm e}$ と合わせると、静的な源の Lagrangian は

$$L_{\mathrm{eff}}=U_{\mathrm m}-U_{\mathrm e}\tag{2.9.10}$$

で、静電エネルギーは位置エネルギーの側、磁場のエネルギーは運動エネルギーの側に入る。磁場のエネルギーは電流の2次式で、電流は電荷の速度なので、この符号は「速度の2次式は $L=T-V$ の $T$ に入る」という第1部第5章の形と合っている。

インダクタンスと回路の Lagrangian

細い導線でできた回路が $N$ 本あり、$i$ 番目の回路を流れる電流を $I_i$ とする。$\bm{J}\,\mathrm{d}^3x\to I_i\,\mathrm{d}\bm{\ell}_i$ と置き換えると

$$U_{\mathrm m}=\frac12\sum_{i,k}M_{ik}I_iI_k,\qquad M_{ik}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_i\oint_k\frac{\mathrm{d}\bm{\ell}_i\cdot\mathrm{d}\bm{\ell}_k}{\lvert \bm{r}_i-\bm{r}_k\rvert }\tag{2.9.11}$$

を得る。$M_{ik}$ は相互インダクタンス（$i=k$ では自己インダクタンス）の係数で、この積分の形を Neumann の公式という。この章では、Lagrangian の $L$ と区別するため、インダクタンスを $M$ の字で書く。

コンデンサに溜まる電荷 $q_i$ を一般化座標に選ぶと、電流は $I_i=\dot q_i$ で、静電エネルギーは容量の逆行列 $(C^{-1})_{ik}$ を使って$U_{\mathrm e}=\frac12\sum(C^{-1})_{ik}q_iq_k$ と書ける。電荷の変化がゆっくりで、各瞬間の場が静的な場で近似できるなら、式 (2.9.10) から

$$L(q,\dot q)=\frac12\sum_{i,k}M_{ik}\dot q_i\dot q_k-\frac12\sum_{i,k}(C^{-1})_{ik}q_iq_k\tag{2.9.12}$$

を得る。$M_{ik}$ が質量行列、$C^{-1}$ がばね定数の行列の役をする。回路が1つなら $L=\frac12M\dot q^2-q^2/(2C)$ で、Euler–Lagrange 方程式 $M\ddot q+q/C=0$ は LC 回路の方程式、角振動数は $\omega_0=1/\sqrt{MC}$ である。

力の符号

回路の形を表す座標（2本の導線の間隔など）を $X$ とすると、$M_{ik}$ は $X$ に依る。$X$ についての Euler–Lagrange 方程式で、導線に働く一般化力は $\partial L/\partial X$ を電流（速度）$\dot q$ を固定して取ったもので、

$$F_X=\frac{\partial L}{\partial X}\Big|_{\dot q}=+\frac12\sum_{i,k}\frac{\partial M_{ik}}{\partial X}I_iI_k=+\frac{\partial U_{\mathrm m}}{\partial X}\Big|_{I}\tag{2.9.13}$$

となる。静電場の力 $-\partial U_{\mathrm e}/\partial X|_q$ と符号が逆である。電流を一定に保つと、力は磁場のエネルギーを増やす向きに働く。同じ向きの平行電流では、近づくほど $M_{12}$ が増えるので、2本は引き合う。