出てくるもの（1）：静電場は作用の最小で決まる

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第9章 §2.9.3　★★★ 停留の条件が Poisson 方程式、停留値が $-U_{\mathrm e}$。源の Lagrangian は Coulomb の位置エネルギーで、最小原理から容量の上界が出る

Poisson 方程式と停留値

静電場の Lagrangian $L_{\mathrm e}[\phi]=\int[\frac{\varepsilon _0}{2}\lvert \nabla\phi\rvert ^2-\rho\phi]\,\mathrm{d}^3x$ を $\phi\to\phi+\delta\phi$ でずらすと、1次の変化は

$$\delta L_{\mathrm e}=\int\mathrm{d}^3x\,\bigl[\varepsilon _0\nabla\phi\cdot\nabla\delta\phi-\rho\,\delta\phi\bigr]=\int\mathrm{d}^3x\,\bigl[-\varepsilon _0\nabla^2\phi-\rho\bigr]\delta\phi$$

である（無限遠で $\delta\phi\to0$ として部分積分した）。任意の $\delta\phi$ で $0$ になる条件は

$$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon _0},\qquad \phi(\bm{r})=\int\mathrm{d}^3x'\,\frac{\rho(\bm{r}')}{4\pi\varepsilon _0\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert }\tag{2.9.5}$$

で、Gauss の法則 $\nabla\cdot\bm{E}=\rho/\varepsilon _0$ を $\bm{E}=-\nabla\phi$ で書いたものである。停留値は式 (2.9.3) のとおり $-\frac12\int\rho\phi\,\mathrm{d}^3x$ になる。Poisson 方程式の両辺に $\phi$ を掛けて部分積分すると$\varepsilon _0\int\lvert \nabla\phi\rvert ^2=\int\rho\phi$ なので、

$$L_{\mathrm e}^*=-U_{\mathrm e},\qquad U_{\mathrm e}=\frac12\int\mathrm{d}^3x\,\rho\phi=\frac{\varepsilon _0}{2}\int\mathrm{d}^3x\,\bm{E}^2\tag{2.9.6}$$

を得る。$U_{\mathrm e}$ は静電エネルギーである。場だけの部分 $\frac{\varepsilon _0}{2}\int\bm{E}^2=+U_{\mathrm e}$ と結合の部分 $-\int\rho\phi=-2U_{\mathrm e}$ を足して、停留値は静電エネルギーの符号を変えたものになる。

Coulomb の位置エネルギー

電荷 $q_1,q_2$ の2つの点電荷が $\bm{r}_1,\bm{r}_2$ に止まっているとする。$\rho=q_1\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}_1)+q_2\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}_2)$ を式 (2.9.5) の解とともに $-\frac12\int\rho\phi$ に入れると、

$$L_{\mathrm{eff}}=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon _0\lvert \bm{r}_1-\bm{r}_2\rvert }+(\text{各電荷の自己エネルギー})\tag{2.9.7}$$

となる。交差項は $\frac12(q_1\phi_2(\bm{r}_1)+q_2\phi_1(\bm{r}_2))$ の2つで、合わせて1つ分の Coulomb エネルギーになる。自己エネルギーは点電荷では発散するが、$\bm{r}_1,\bm{r}_2$ に依らない定数なので運動には現れない。電荷が十分ゆっくり動くなら、この $L_{\mathrm{eff}}$ を粒子の Lagrangian の位置エネルギーの項 $-V$ として使ってよい。停留値が $-U_{\mathrm e}$ になったことは、静電エネルギーが源の Lagrangian の中で位置エネルギーの側に入ることを意味する。力は $\partial L_{\mathrm{eff}}/\partial\bm{r}_1=-\partial U_{\mathrm e}/\partial\bm{r}_1$ で、同符号の電荷は離れる向きに押される。

Dirichlet の原理と容量の上界

$-\varepsilon _0\nabla^2$ は正定値なので、$L_{\mathrm e}[\phi]$ の停留点は最小点である（式 (2.9.2) の後の注意）。導体の問題では、電荷の代わりに導体の電位を固定することが多い。半径 $a$ の内球を電位 $V$、半径 $b$ の外球を電位 $0$ に保つ同心球のコンデンサでは、導体の間に電荷が無いので $\rho=0$ で、Lagrangian は $\frac{\varepsilon _0}{2}\int\lvert \nabla\phi\rvert ^2$ だけになる。境界値を固定した関数の中で、この積分を最小にするのが Laplace 方程式の解である（Dirichlet の原理）。最小値は静電エネルギー $U_{\mathrm e}=\frac12CV^2$ なので、境界値を満たす任意の試し関数 $\phi_{\mathrm{tr}}$ について

$$C\le C_{\mathrm{tr}}\coloneqq\frac{2}{V^2}\cdot\frac{\varepsilon _0}{2}\int\mathrm{d}^3x\,\lvert \nabla\phi_{\mathrm{tr}}\rvert ^2\tag{2.9.8}$$

が成り立つ。試し関数を決めれば容量の上界が得られ、試し関数に可変な定数を入れて最小化すれば上界は下がる。これは第V巻の Rayleigh–Ritz 法と同じ操作で、試し関数を張る部分空間の中で最小化している。