当てる道具：場を消去して源の Lagrangian を作る

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第9章 §2.9.2　★★★ 2次の作用に1次の源を足したものを停留させて戻すと、停留値は $-\frac12\,j\cdot K^{-1}j$。場の方程式と、場を消去した源の Lagrangian が同時に出る

有限次元の補題

場を消去する操作は、有限次元の2次形式で先に1周しておくと見通しがよい。$n$ 個の変数 $x=(x_1,\dots,x_n)$ の関数

$$\Phi(x)=\frac12\sum_{i,k}K_{ik}x_ix_k-\sum_ij_ix_i\tag{2.9.2}$$

を考える。$K$ は実対称で正則な行列、$j$ は固定したベクトルである。停留の条件 $\partial\Phi/\partial x_i=0$ は$\sum_kK_{ik}x_k=j_i$、つまり $x^*=K^{-1}j$ である。これを $\Phi$ に戻すと

$$\Phi(x^*)=\frac12\,j\cdot K^{-1}j-j\cdot K^{-1}j=-\frac12\,j\cdot K^{-1}j=-\frac12\,j\cdot x^*\tag{2.9.3}$$

になる。結合の項 $-j\cdot x^*$ が2次の項 $\frac12x^*\cdot Kx^*=\frac12j\cdot x^*$ のちょうど $-2$ 倍になっていることが、この式の要点である。さらに、停留値を $j$ の関数とみなして微分すると

$$\frac{\partial \Phi(x^*)}{\partial j_i}=-(K^{-1}j)_i=-x^*_i\tag{2.9.4}$$

となる。これは第1部第7章の Legendre 変換の性質と同じ形で、停留点での値を源で微分すると、源に共役な変数（ここでは場）が戻る。$x^*$ で $\partial\Phi/\partial x=0$ なので、$x^*$ が $j$ に依ることを考えなくてよい。$K$ が正定値なら $\Phi$ は下に凸で、停留点は最小点になり、任意の $x$ について $\Phi(x)\ge-\frac12\,j\cdot K^{-1}j$ が成り立つ。

場への読み替え

電磁場の Lagrangian (2.9.1) で、静電場（$\bm{A}=0$, $\phi$ が時間に依らない）だけを考えると

$$L_{\mathrm e}[\phi]=\int\mathrm{d}^3x\,\Bigl[\frac{\varepsilon _0}{2}\lvert \nabla\phi\rvert ^2-\rho\phi\Bigr] =\frac12\int\mathrm{d}^3x\,\phi\,(-\varepsilon _0\nabla^2)\phi-\int\mathrm{d}^3x\,\rho\phi$$

となる（無限遠で $\phi\to0$ として部分積分した）。$x\leftrightarrow\phi(\bm{r})$、$K\leftrightarrow-\varepsilon _0\nabla^2$、$j\leftrightarrow\rho$ と読めば式 (2.9.2) と同じ形で、$-\nabla^2$ は正定値な作用素である。$K^{-1}$ は Green 関数 $G(\bm{r},\bm{r}')=1/(4\pi\varepsilon _0\lvert \bm{r}-\bm{r}'\rvert )$ を核とする積分作用素になる。静磁場（$\phi=0$, $\bm{A}$ が時間に依らない）では

$$L_{\mathrm m}[\bm{A}]=\int\mathrm{d}^3x\,\Bigl[-\frac{1}{2\mu_0}(\nabla\times\bm{A})^2+\bm{J}\cdot\bm{A}\Bigr]$$

で、$K\leftrightarrow-\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\nabla\times$、$j\leftrightarrow-\bm{J}$ と読む。こちらは $K$ が負（半）定値なので、停留点は最大点の側になる。時間に依る場では $K$ が波動作用素 $\Box$ になり、$K^{-1}$ を決めるのに時間の境界条件（遅延か先進か）を選ぶ必要が出る。これが2.9.5節の主題である。

この補題を場に当てると、2つのものが同時に出る。1つは停留の条件で、これは場の Euler–Lagrange 方程式（第2部第5章）、つまり Maxwell 方程式のうち源を含む2本である。もう1つは停留値 $-\frac12\,j\cdot K^{-1}j$ で、これは源だけで書かれた量になる。場の自由度を解いて消去したので、この量を場を消去した源の Lagrangian と呼び、$L_{\mathrm{eff}}$ と書く。