当てる道具：Wigner–Weisskopf の方法と Markov 近似

光学と量子エレクトロニクス　第34章 §34.2　★★★ 励起の数が1の部分空間で Schrödinger 方程式を書くと、上の準位の振幅は記憶の核 $K(\tau)$ を持つ方程式に従う。核が $1/\omega_0$ の桁の時間で消えることを使うと $\dot c_e=-(\Gamma/2)c_e$、$\Gamma=2\pi\mathcal J(\omega_0)=\omega_0^3d_{eg}^2/(3\pi\varepsilon_0\hbar c^3)$

振幅の方程式

原子を $| e \rangle$ に上げ、すべてのモードを光子0個にした状態 $| e,0 \rangle$ から始める。回転波近似の Hamiltonian は励起の数を保存するので、状態は励起の数が1の部分空間にとどまり、

$$| \psi(t) \rangle =c_e(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_0t}| e,0 \rangle +\sum_{\bm{k},s}c_{\bm{k}s}(t)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_kt}| g,1_{\bm{k}s} \rangle\tag{34.7}$$

と書ける。エネルギーの原点を $| g,0 \rangle$ にとり、自由な時間変化の位相をくくり出した（相互作用描像の振幅）。Schrödinger 方程式に入れて $\langle e,0 |$ と $\langle g,1_{\bm{k}s} |$ を掛けると

$$\frac{\mathrm{d} c_e}{\mathrm{d} t}=-\mathrm{i}\sum_{\bm{k},s}g_{\bm{k}s}\,c_{\bm{k}s}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_0-\omega_k)t},\qquad \frac{\mathrm{d} c_{\bm{k}s}}{\mathrm{d} t}=-\mathrm{i} g^*_{\bm{k}s}\,c_e\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega_0-\omega_k)t}\tag{34.8}$$

を得る。光子の振幅は $c_{\bm{k}s}(0)=0$ から積分でき、$c_{\bm{k}s}(t)=-\mathrm{i} g^*_{\bm{k}s}\int_0^tc_e(t')\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega_0-\omega_k)t'}\mathrm{d} t'$ である。これを第1式に戻すと

$$\frac{\mathrm{d} c_e}{\mathrm{d} t}=-\int_0^tK(t-t')\,c_e(t')\,\mathrm{d} t',\qquad K(\tau)=\sum_{\bm{k},s}\lvert g_{\bm{k}s}\rvert ^2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_0-\omega_k)\tau}=\int_0^\infty\mathcal J(\omega)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega_0-\omega)\tau}\,\mathrm{d}\omega\tag{34.9}$$

になる。ここまで近似は回転波近似だけである。$c_e$ の変化の速さは、過去のすべての時刻の $c_e$ に核 $K$ を掛けて足したもので決まる。原子が放った光の振幅が、まだ原子の位置に残っている間は、原子へ戻ってくるからである。核を決めるのは、モードごとの結合の2乗を周波数で並べた結合のスペクトル密度

$$\mathcal J(\omega)=\sum_{\bm{k},s}\lvert g_{\bm{k}s}\rvert ^2\delta(\omega-\omega_k)\tag{34.10}$$

だけである。原子がどんな環境に置かれているかは、すべて $\mathcal J(\omega)$ に入る。自由空間と共振器の違いも $\mathcal J(\omega)$ の違いとして書ける（34.3節）。

自由空間の $\mathcal J(\omega)$

自由空間では和を積分 $\sum_{\bm{k}}\to\frac{V}{(2\pi)^3}\int\mathrm{d}^3k$ に直す。双極子 $\bm{d}_{eg}$ の向きを極軸にとると、波数 $\bm{k}$ に垂直な2つの偏光について $\sum_s\lvert \bm{d}_{eg}\cdot\bm{e}_{\bm{k}s}\rvert ^2=d_{eg}^2\sin^2\theta$ である（$d_{eg}=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert$。$\bm{k}$ に平行な成分だけが抜ける）。$\int\sin^2\theta\,\mathrm{d}\Omega=8\pi/3$（立体角の積分）と $\mathrm{d}^3k=(\omega^2/c^3)\mathrm{d}\omega\,\mathrm{d}\Omega$ を使うと

$$\mathcal J(\omega)=\frac{V}{(2\pi)^3}\frac{\omega^2}{c^3}\cdot\frac{8\pi}{3}\cdot\frac{\omega\,d_{eg}^2}{2\varepsilon_0\hbar V}=\frac{\omega^3d_{eg}^2}{6\pi^2\varepsilon_0\hbar c^3}\tag{34.11}$$

を得る。箱の体積 $V$ は消える。1つのモードの結合は $1/V$ で弱くなるが、モードの数が $V$ に比例して増えるからである。

Markov 近似と指数関数の減衰

$\mathcal J(\omega)$ は $\omega_0$ の付近で $\omega^3$ のようにゆっくり変わり、幅は $\omega_0$ の桁ある。したがって核 $K(\tau)$ は $\tau\sim1/\omega_0$（光の周期の桁）で消える。一方 $c_e$ は、あとで分かるとおり $1/\Gamma$ の時間でしか変わらない。$\Gamma/\omega_0$ は可視光の遷移で $10^{-8}$ の桁である。そこで式 (34.9) の積分の中の $c_e(t')$ を $c_e(t)$ で置き換え、積分の上限を $\infty$ に延ばす。これが Markov 近似で、原子が過去の自分を覚えていないとみなすことに当たる。$\int_0^\infty\mathrm{e}^{\mathrm{i} x\tau}\mathrm{d}\tau=\pi\delta(x)+\mathrm{i}\,\mathrm P\frac1x$（$\mathrm P$ は主値）を使うと

$$\frac{\mathrm{d} c_e}{\mathrm{d} t}=-\Bigl(\frac\Gamma2+\mathrm{i}\,\delta\omega\Bigr)c_e,\qquad \Gamma=2\pi\mathcal J(\omega_0),\qquad \delta\omega=\mathrm P\!\int_0^\infty\frac{\mathcal J(\omega)}{\omega_0-\omega}\mathrm{d}\omega\tag{34.12}$$

になる。これが Weisskopf と Wigner の結果である¹1V. Weisskopf and E. Wigner (1930), Zeitschrift für Physik 63, 54–73.下の脚注へ閉じる。上の準位にいる確率は $\lvert c_e\rvert ^2=\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ で指数関数的に減る。式 (34.11) を入れると

$$\Gamma=\frac{\omega_0^3d_{eg}^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}\tag{34.13}$$

を得る。これは第20章で熱平衡から出した $A_{21}=\hbar\omega_0^3B_{21}/(\pi^2c^3)$ に、縮退の無い場合の $B_{21}=\pi d_{eg}^2/(3\varepsilon_0\hbar^2)$ を入れた値と一致する（第20章）。Einstein が熱平衡の整合性だけから要求した自然放出が、真空のモードとの結合から同じ大きさで出てくる。

虚部 $\delta\omega$ は準位のずれで、この模型では $\mathcal J\propto\omega^3$ のために積分が高い周波数で発散する。双極子近似は波長が原子より短くなると破れ、回転波近似で捨てた項も同じ桁で寄与するので、ずれを正しく求めるには質量の繰り込みを含む扱いが要る（H. A. Bethe (1947), Physical Review 72, 339–341 の Lamb シフトの計算）。この章では $\delta\omega$ を $\omega_0$ に繰り込み、$\omega_0$ を観測される遷移の角周波数とする。

放出される光のスペクトル

$c_e(t)=\mathrm{e}^{-\Gamma t/2}$ を光子の振幅の式に入れると、十分時間が経ったあとの振幅は

$$c_{\bm{k}s}(\infty)=\frac{-\mathrm{i} g^*_{\bm{k}s}}{\Gamma/2-\mathrm{i}(\omega_k-\omega_0)},\qquad \lvert c_{\bm{k}s}(\infty)\rvert ^2=\frac{\lvert g_{\bm{k}s}\rvert ^2}{(\omega_k-\omega_0)^2+\Gamma^2/4}\tag{34.14}$$

になる。光子の周波数の分布は半値全幅 $\Gamma$ の Lorentz 型で、第24章の自然幅そのものである（第24章）。全確率は $\sum\lvert c_{\bm{k}s}\rvert ^2=\int\mathcal J(\omega)\,\mathrm{d}\omega/[(\omega-\omega_0)^2+\Gamma^2/4]\approx2\pi\mathcal J(\omega_0)/\Gamma=1$ で、原子が失った確率はちょうど1個の光子になる。放出の向きは $\lvert g_{\bm{k}s}\rvert ^2\propto\sin^2\theta$ で、古典の双極子アンテナと同じ分布である。

1　V. Weisskopf and E. Wigner (1930), Zeitschrift für Physik 63, 54–73.