出てくるもの（1）：Purcell 効果

光学と量子エレクトロニクス　第34章 §34.3　★★★ 損失 $\kappa$ のある共振器のモードは Lorentz 型の $\mathcal J(\omega)$ を作る。$g\ll\kappa$ では自然放出の速さが $4g^2/\kappa$ になり、自由空間との比が $F_{\mathrm P}=\frac{3}{4\pi^2}\frac{Q\lambda^3}{V_{\mathrm m}}$

損失のある共振器は Lorentz 型の環境

原子を共振器の中に置くと、共振器のモードの周波数のまわりで $\mathcal J(\omega)$ が大きくなる。第5章で、共振器のモードは鏡を通して外へ光子が漏れるために、光子数が速さ $\kappa=1/\tau_{\mathrm c}=\omega_{\mathrm c}/Q$ で減る振動子であることを示した（第5章。$\tau_{\mathrm c}$ は光子の寿命、$Q$ は Q 値）。このモードのスペクトルは中心 $\omega_{\mathrm c}$、半値全幅 $\kappa$ の Lorentz 型である。共振器のモードとその外の連続体をまとめて1つの環境とみなすと、原子から見た結合のスペクトル密度は

$$\mathcal J_{\mathrm c}(\omega)=\frac{g^2}{2\pi}\,\frac{\kappa}{(\omega-\omega_{\mathrm c})^2+\kappa^2/4}\tag{34.15}$$

になる。面積は $\int\mathcal J_{\mathrm c}\mathrm{d}\omega=g^2$ で、1つのモードの結合 $g^2$ を幅 $\kappa$ に広げたものである。

この $\mathcal J_{\mathrm c}$ に式 (34.12) を当てると、共振器のモードへの自然放出の速さは

$$\Gamma_{\mathrm c}=2\pi\mathcal J_{\mathrm c}(\omega_0)=\frac{4g^2}{\kappa}\,\frac{1}{1+4\Delta_{\mathrm c}^2/\kappa^2},\qquad \Delta_{\mathrm c}=\omega_{\mathrm c}-\omega_0\tag{34.16}$$

である（$\Delta_{\mathrm c}$ は共振器と原子の離調。記法の正本の離調 $\Delta$ と同じく「場 − 原子」の向き）。ただし Markov 近似が使えるのは、核の消える時間 $1/\kappa$ が $1/\Gamma_{\mathrm c}$ より十分短いとき、つまり $\Gamma_{\mathrm c}\ll\kappa$、言い換えると $g\ll\kappa$ のときに限る。この範囲を弱結合と呼ぶ。

Purcell 因子

原子が腹にいて双極子がモードの偏光にそろい、共振器が原子に共鳴している（$\Delta_{\mathrm c}=0$）とき、式 (34.4) の $g^2=d_{eg}^2\omega/(2\varepsilon_0\hbar V_{\mathrm m})$ と $\kappa=\omega/Q$ から$\Gamma_{\mathrm c}=2d_{eg}^2Q/(\varepsilon_0\hbar V_{\mathrm m})$ になる。自由空間の式 (34.13) との比をとり、$\omega=2\pi c/\lambda$ を使うと

$$F_{\mathrm P}=\frac{\Gamma_{\mathrm c}}{\Gamma_0}=\frac{3}{4\pi^2}\,\frac{Q\lambda^3}{V_{\mathrm m}}\tag{34.17}$$

を得る。$\Gamma_0$ は自由空間の値（式 (34.13)）である。屈折率 $n$ の媒質の中では $\lambda$ を媒質中の波長 $\lambda/n$ に替える。これを Purcell 因子と呼ぶ¹1E. M. Purcell (1946), Physical Review 69, 681（アメリカ物理学会の講演の要旨）。下の脚注へ閉じる。$d_{eg}$ も $\hbar$ も消え、共振器の形だけで決まる。

離調があると、式 (34.16) の Lorentz 因子だけ速さが下がる。原子の遷移が共振器のモードから遠く、しかも共振器の壁が自由空間のモードも締め出していれば、放出の相手がいなくなり、自然放出は遅くなる。Hulet・Hilfer・Kleppner は、2枚の平行な導体板の間隔を遷移の波長の半分より狭くして、Rydberg 原子の寿命が少なくとも20倍に延びることを観測した（R. G. Hulet, E. S. Hilfer and D. Kleppner (1985), Physical Review Letters 55, 2137–2140）。自然放出の速さは原子だけの性質でなく、原子と周りのモードの組の性質である。

原子が腹からずれた位置にいれば $g^2$ に $\lvert f(\bm{r}_0)\rvert ^2$ が、双極子が偏光と角 $\theta$ をなせば $\cos^2\theta$ が掛かる。共振器のモードへの放出のほかに、共振器が覆っていない向きの自由空間のモードへの放出 $\gamma$ も残る（開いた Fabry–Perot 共振器では $\gamma\approx\Gamma_0$）。全体の減衰の速さは $\gamma+\Gamma_{\mathrm c}$ で、放出された光子が共振器のモードに入る割合は

$$\beta=\frac{\Gamma_{\mathrm c}}{\gamma+\Gamma_{\mathrm c}}=\frac{C}{1+C},\qquad C=\frac{4g^2}{\kappa\gamma}\tag{34.18}$$

になる。$C$ を協同度と呼ぶ。$\gamma=\Gamma_0$ のとき $C$ は Purcell 因子 $F_{\mathrm P}$ と同じ数である。単一光子源（第32章）で光子を1つの向きに集める仕組みはこの $\beta$ である。

1　E. M. Purcell (1946), Physical Review 69, 681（アメリカ物理学会の講演の要旨）。