出てくるもの（2）：Jaynes–Cummings 模型と真空 Rabi 分裂

光学と量子エレクトロニクス　第34章 §34.4　★★★ $g$ が $\kappa$ と $\gamma$ を超えると、原子と共振器は励起を可逆にやり取りし、スペクトルは $2g$ 離れた2本に割れる。光子数 $n$ の状態ごとに Rabi 周波数 $2g\sqrt{n+1}$ が違うことから、コヒーレント状態の Rabi 振動は崩壊して復活する

弱結合から強結合へ

共振器の損失が小さくなると、Markov 近似が使えなくなる。その場合は、共振器のモードを環境に押し込めず、原子と同じ扱いで方程式に残す。初めに原子が $| e \rangle$、共振器が光子0個の状態から始め、外へ漏れた光子と自由空間への放出は戻ってこないので、励起が原子か共振器にとどまっている振幅だけを追う。共鳴（$\Delta_{\mathrm c}=0$）の回転座標で

$$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\begin{pmatrix}c_e\\ c_a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\gamma/2&-\mathrm{i} g\\ -\mathrm{i} g&-\kappa/2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_e\\ c_a\end{pmatrix}\tag{34.19}$$

である。$c_e$ は $| e,0 \rangle$、$c_a$ は $| g,1 \rangle$ の振幅で、対角の $-\gamma/2$ と $-\kappa/2$ は振幅の減る速さ（確率の速さの半分）である。行列の固有値は

$$\lambda_\pm=-\frac{\gamma+\kappa}{4}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{\kappa-\gamma}{4}\Bigr)^2-g^2}\tag{34.20}$$

である。根号の中の符号で2つの場合に分かれる。

$g<\lvert \kappa-\gamma\rvert /4$ では固有値は2つとも実数で、振幅は振動せずに減る。$\gamma=0$、$g\ll\kappa$ の遅いほうの固有値は $\lambda_+\approx-2g^2/\kappa-8g^4/\kappa^3$ で、確率の減る速さ $-2\lambda_+\approx4g^2/\kappa$ は34.3節の $\Gamma_{\mathrm c}$ に一致する。これが弱結合の Purcell 効果である。

$g>\lvert \kappa-\gamma\rvert /4$ では固有値が複素数になり、振幅は角周波数 $\sqrt{g^2-(\kappa-\gamma)^2/16}$ で振動しながら速さ $(\gamma+\kappa)/4$ で減る。励起は原子と共振器の間を行き来し、原子が放った光子を原子がもう一度吸収する。これを強結合と呼ぶ。行き来が見えるには、振動の周期が減衰の時間より短い必要があり、実際の目安は $g>\kappa,\gamma$ である。図 34.1 に2つの場合の $\lvert c_e\rvert ^2$ を描いた。

着衣状態と真空 Rabi 分裂

損失を無視して式 (34.5) を厳密に解く。$\hat H_{\mathrm{JC}}$ は励起の数を保存するので、$| e,n \rangle$ と $| g,n+1 \rangle$ の2つが張る部分空間ごとに閉じる。その中の行列は

$$\hat H_{\mathrm{JC}}\Big|_n=\hbar\begin{pmatrix}\omega_{\mathrm c}n+\omega_0/2&g\sqrt{n+1}\\ g\sqrt{n+1}&\omega_{\mathrm c}(n+1)-\omega_0/2\end{pmatrix}\tag{34.21}$$

で、固有値は

$$E_{\pm}(n)=\hbar\omega_{\mathrm c}\Bigl(n+\frac12\Bigr)\pm\hbar\sqrt{\frac{\Delta_{\mathrm c}^2}{4}+g^2(n+1)}\tag{34.22}$$

である。固有状態を着衣状態と呼ぶ。共鳴では $| \pm,n \rangle =(| e,n \rangle \pm| g,n+1 \rangle )/\sqrt2$ で、2つの間隔は $2\hbar g\sqrt{n+1}$ である。$| e,n \rangle$ から始めると、上の準位にいる確率は $\cos^2(g\sqrt{n+1}\,t)$ で振動する。第18章の古典の場の $\sin^2(\Omega t/2)$ と同じ形で、$\Omega$ が $2g\sqrt{n+1}$ に置き換わっている。

$n=0$ の部分空間では、光子が1個もない状態 $| e,0 \rangle$ と光子1個の $| g,1 \rangle$ が、真空の揺らぎを通して $2\hbar g$ だけ分かれる。これを真空 Rabi 分裂と呼ぶ（図 34.2）。弱い光で共振器の透過を測ると、空の共振器では $\omega_{\mathrm c}$ に1本あったピークが、原子が1個入ると $\omega_{\mathrm c}\pm g$ の2本に割れる。損失があるときの位置と幅は、式 (34.20) の固有値の虚部と実部で、2本の間隔は $2\sqrt{g^2-(\kappa-\gamma)^2/16}$、各ピークの半値全幅は $(\kappa+\gamma)/2$ である。分裂が幅より大きいことが強結合の分光の目安になる。光の共振器で原子による分裂を初めて観測したのは Thompson・Rempe・Kimble で、原子の数の平均が1以下の場合まで分裂が残ることを示した（R. J. Thompson, G. Rempe and H. J. Kimble (1992), Physical Review Letters 68, 1132–1135）。

Rabi 振動の崩壊と復活

共振器のモードをコヒーレント状態 $| \alpha \rangle$（平均光子数 $\bar n=\lvert \alpha\rvert ^2$、光子数の分布は Poisson 分布 $p_n=\mathrm{e}^{-\bar n}\bar n^n/n!$。第31章）にし、原子を $| e \rangle$ から始める。損失を無視した共鳴では、光子数 $n$ の成分ごとに独立に $\cos^2(g\sqrt{n+1}t)$ で振動するので

$$P_e(t)=\sum_{n=0}^\infty p_n\cos^2\bigl(g\sqrt{n+1}\,t\bigr)=\frac12+\frac12\sum_{n=0}^\infty p_n\cos\bigl(2g\sqrt{n+1}\,t\bigr)\tag{34.23}$$

になる。光子数の異なる成分は少しずつ違う角周波数で振動する。$n$ の広がりは $\sqrt{\bar n}$ で、角周波数の広がりは $2g\cdot\frac{\sqrt{\bar n}}{2\sqrt{\bar n}}=g$ である。そのため振動は $t\sim1/g$ で位相がばらけて消える（崩壊）。$n$ を Gauss 分布で近似すると包絡線は $\mathrm{e}^{-g^2t^2/2}$ で、崩壊の時間 $t_{\mathrm c}=\sqrt2/g$ は $\bar n$ によらない。ところが $n$ は整数なので、隣り合う $n$ の角周波数の差 $2g(\sqrt{\bar n+1}-\sqrt{\bar n})\approx g/\sqrt{\bar n}$ が一周する時刻

$$t_{\mathrm r}\approx\frac{2\pi\sqrt{\bar n}}{g}\tag{34.24}$$

に、位相がもう一度そろって振動が戻る（復活）。図 34.3 に $\bar n=16$ の場合を描いた。

古典の場では、振幅の決まった場の Rabi 振動は崩れない。崩壊は光子数の揺らぎ（ショット雑音）で角周波数が散ったためで、古典の振幅の揺らぎでも起きる。しかし復活は、光子数が整数で角周波数が $\sqrt{n+1}$ の離散的な値しかとらないことの帰結で、古典の連続な振幅の分布では起きない。復活は場が量子化されていることの直接の証拠である。Rempe・Walther・Klein は、超伝導の空洞の中で Rydberg 原子が場と相互作用する時間を変えて、崩壊と復活を観測した（G. Rempe, H. Walther and N. Klein (1987), Physical Review Letters 58, 353–356）。