何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第34章 §34.5　★★ 回転波近似・Markov 近似・1モードへの射影・共振器の損失を減衰の速さで書くことの4つ。自由空間の指数減衰は弱結合の van Hove 極限、Purcell の式は2×2 の厳密解の展開で裏付けられる。測る量は寿命・透過のスペクトル・Rabi 振動

置いた近似

1つ目は回転波近似である。式 (34.3) で $\sigma_+\hat a^\dagger$ と $\sigma_-\hat a$ を捨てた。小さいパラメータは $g/\omega_{\mathrm c}$（自由空間なら $\Gamma/\omega_0$）である。可視光と原子では $g/\omega_{\mathrm c}\sim10^{-7}$ で問題にならないが、超伝導回路の共振器では $g/\omega_{\mathrm c}$ が $0.1$ を超える例があり、そこでは励起の数の保存が破れて Jaynes–Cummings 模型の着衣状態がずれる（Bloch–Siegert のずれ。第19章）。

2つ目は Markov 近似で、式 (34.9) の記憶を捨てた。厳密な解は指数関数からずれる。ずれは2か所に現れる。短い時間では、$c_e(t)\approx1-\frac12\int_0^\infty\mathcal J(\omega)\mathrm{d}\omega\cdot t^2$ で、確率は $t$ について2次で減り始める（図 34.1 の弱結合の点線で $1-g^2t^2$ の平らな始まりが見える）。長い時間では、$\mathcal J(\omega)$ が $\omega=0$ で切れていることのために、指数関数より遅い冪の尾が残る。どちらも可視光の遷移では観測にかからない大きさで、Markov 近似の誤差は $\Gamma/\omega_0$ の桁である。

3つ目は1つのモードへの射影で、Jaynes–Cummings 模型 (34.5) は共振器の多くのモードのうち原子に共鳴する1つだけを残した。ほかのモードと自由空間への放出は $\gamma$ にまとめた。小さいものは、隣のモードとの間隔（自由スペクトル領域）に対する $g$ の比である。

4つ目は、共振器の損失を減衰の速さ $\kappa$ で書いたことで、鏡の外の連続体のモードへの漏れに Markov 近似を当てたものである。鏡の外のモードが共振器の線幅にわたって平坦であることが前提である。

何の実験の量で確かめるか

自由空間の自然放出の速さは、短いパルスで原子を励起して蛍光の減衰を測る寿命で確かめる。式 (34.13) には $d_{eg}$ しか入らず、$d_{eg}$ は吸収の強さ（第20章の積分した吸収）からも独立に決まるので、2つの測定の比較が自然放出の量子論の検証になる。

Purcell 効果は、共振器の中と外で寿命を比べて確かめる。Goy・Raimond・Gross・Haroche は、ミリ波の遷移に共鳴させた Q 値の高い超伝導の空洞を Rydberg 原子に通し、寿命が大きく縮むことを観測した（P. Goy, J. M. Raimond, M. Gross and S. Haroche (1983), Physical Review Letters 50, 1903–1906）。逆向きの抑制は34.3節の Hulet らの実験である。

強結合は、共振器の透過のスペクトルの2本のピーク（真空 Rabi 分裂）と、時間領域の Rabi 振動で確かめる。光の共振器と原子（Thompson ら 1992）、マイクロ波の空洞と Rydberg 原子（崩壊と復活、Rempe ら 1987）に加えて、超伝導の量子ビットとマイクロ波の伝送線路の共振器でも真空 Rabi 分裂が観測された（A. Wallraff et al. (2004), Nature 431, 162–167）。後者は量子計算の読み出しの仕組みにそのままつながる（相対エントロピーから情報と物理を組み立てる 第6部第1章）。