授業で習った形との対応

光学と量子エレクトロニクス　第34章 §34.6　★★ 学部の量子力学の黄金律と状態密度の式は、式 (34.12) の $\Gamma=2\pi\mathcal J(\omega_0)$ と同じ式である。古典の双極子放射の Larmor の式からは振幅 $2d_{eg}$ の双極子で同じ $\Gamma$ が出て、半古典の理論からは $\Gamma\rho_{ee}(1-\rho_{ee})$ しか出ない

黄金律

学部の量子力学では、始状態 $| i \rangle$ から連続な終状態への遷移の速さを Fermi の黄金律

$$w_{i\to f}=\frac{2\pi}{\hbar}\sum_f\lvert \langle f | \hat H_{\mathrm{int}} | i \rangle \rvert ^2\delta(E_f-E_i)=\frac{2\pi}{\hbar}\lvert \langle f | \hat H_{\mathrm{int}} | i \rangle \rvert ^2\rho(E_i)\tag{34.25}$$

で求める（$\rho(E)$ は終状態の状態密度）。$| i \rangle =| e,0 \rangle$、$| f \rangle =| g,1_{\bm{k}s} \rangle$ とすれば行列要素は $\hbar g^*_{\bm{k}s}$ で、$\delta(E_f-E_i)=\delta(\omega_k-\omega_0)/\hbar$ から$w=2\pi\sum\lvert g_{\bm{k}s}\rvert ^2\delta(\omega_k-\omega_0)=2\pi\mathcal J(\omega_0)$ になり、式 (34.12) の $\Gamma$ と一致する。授業の式は、状態密度 $\rho(E)$ と行列要素 $\lvert \langle f | H | i \rangle \rvert ^2$ を別々に書き、この章はそれを1つの $\mathcal J(\omega)$ にまとめた。まとめると、自由空間と共振器を同じ式で比べることができる。黄金律は「始状態の確率がほとんど減っていない短い時間」で導くが、Wigner–Weisskopf の方法は同じ速さで確率が $\mathrm{e}^{-\Gamma t}$ と減り続けることまで示す。授業の黄金律は、この章の Markov 近似を、減衰を無視した初めの時間で使ったものに当たる。

学部の電磁気の授業の多くは、自然放出の速さを Einstein の関係で出す。第20章の $A_{21}=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}B_{21}$（$u(\omega)$ 基準。$u(\nu)$ 基準では $A=\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}B^{(\nu)}$）に、黄金律で計算した $B_{21}$ を入れる方法である。この章の式 (34.13) は、その結果を熱平衡を経ずに直接出した。

古典の双極子放射と半古典の理論

古典電磁気学では、振幅 $d_0$ で $\operatorname{Re}[d_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}]$ と振動する双極子が出す光の平均の仕事率は Larmor の式

$$P=\frac{\omega^4d_0^2}{12\pi\varepsilon_0c^3}\tag{34.26}$$

で与えられる。$d_0=2d_{eg}$ と置くと $P/(\hbar\omega)=\omega^3d_{eg}^2/(3\pi\varepsilon_0\hbar c^3)=\Gamma$ で、量子論の自然放出の速さと一致する。授業で自然放出の速さを「振幅 $2d_{eg}$ の古典の双極子の放射」から覚える流儀は、この一致を使っている。

一致の意味は、場を古典に置いたままの半古典の理論と比べると分かる。原子の状態が $c_g| g \rangle +c_e| e \rangle$ のとき、双極子の期待値の振幅は $d_0=2\lvert \rho_{eg}\rvert d_{eg}$ で、純粋状態では $\lvert \rho_{eg}\rvert ^2=\rho_{ee}\rho_{gg}$ である。Larmor の式から出る放射の速さ（光子数）は

$$\frac{P}{\hbar\omega}=\Gamma\,\rho_{ee}(1-\rho_{ee})\tag{34.27}$$

で、量子論の $\Gamma\rho_{ee}$ と比べて $\Gamma\rho_{ee}^2$ だけ足りない。$\rho_{ee}=1$ の励起状態では、双極子の期待値が0なので半古典の理論は何も放射しない。足りない分が、真空の揺らぎ $E_{\mathrm{ph}}$ に促された放出（式 (34.6) の $n+1$ の $1$）である。弱く励起された原子（$\rho_{ee}\ll1$）では2つが一致するので、第3部の Lorentz 振動子の放射減衰は半古典の扱いで正しい値になる。