この章のまとめ

(1) $\omega_0=2.415\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Gamma_0=3.81\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}$ で、式 (34.13) から $d_{eg}=\sqrt{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3\Gamma_0/\omega_0^3}=2.99\,ea_0$ である。第20章の縮退の無い $B_{21}=\pi d_{eg}^2/(3\varepsilon_0\hbar^2)$ を Einstein の関係に入れると $A_{21}=\frac{\hbar\omega_0^3}{\pi^2c^3}\cdot\frac{\pi d_{eg}^2}{3\varepsilon_0\hbar^2}=\frac{\omega_0^3d_{eg}^2}{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3}$ で、式 (34.13) と同じ式になる。したがって同じ $d_{eg}=2.99\,ea_0$ が求まる。熱平衡の議論からも真空のモードの計算からも、同じ自然放出の速さが出る。

(2) $V_{\mathrm m}=\pi(20\,\mu\mathrm m)^2(100\,\mu\mathrm m)/4=3.14\times10^{-14}\,\mathrm{m^3}$、$E_{\mathrm{ph}}=\sqrt{\hbar\omega_0/(2\varepsilon_0V_{\mathrm m})}=677\,\mathrm{V\,m^{-1}}$ で、$g/2\pi=d_{eg}E_{\mathrm{ph}}/(2\pi\hbar)=25.9\,\mathrm{MHz}$ である。$\kappa/2\pi=c/(2L\mathcal F)=1.5\times10^{12}\,\mathrm{Hz}/10^5=15.0\,\mathrm{MHz}$ である。

(3) $C=4g^2/(\kappa\gamma)=4\times25.9^2/(15.0\times6.07)=29.4$。フィネスを $10^3$ にすると $\kappa/2\pi=1.50\,\mathrm{GHz}$ で、$g/\kappa=0.017$ なので弱結合にある。$\Gamma_{\mathrm c}/2\pi=4\times(25.9\,\mathrm{MHz})^2/1499\,\mathrm{MHz}=1.79\,\mathrm{MHz}$、$F_{\mathrm P}=\Gamma_{\mathrm c}/\Gamma_0=0.294$ で、$\beta=1.79/(1.79+6.07)=0.227$ になる。鏡が悪いと、共振器のモードは原子の自然放出の4分の1ほどしか拾わない。

(4) $(\kappa-\gamma)/4=2\pi\times2.23\,\mathrm{MHz}$ で、間隔は $2\sqrt{25.9^2-2.23^2}=51.6\,\mathrm{MHz}$（$\times2\pi$）、各ピークの幅は $(\kappa+\gamma)/2=2\pi\times10.5\,\mathrm{MHz}$ である。間隔が幅の5倍あり、$g$ が $\kappa$ と $\gamma$ のどちらより大きいので強結合にある。

(5) $2g\sqrt{26}/2\pi=264\,\mathrm{MHz}$。崩壊の時間は $t_{\mathrm c}=\sqrt2/g=8.70\,\mathrm{ns}$、復活の時刻は $t_{\mathrm r}=2\pi\sqrt{25}/g=193\,\mathrm{ns}$ で、光子の寿命は $1/\kappa=10.6\,\mathrm{ns}$ である。崩壊は光子が漏れる前に起きるので見えるが、復活の時刻には光子はとうに漏れ出ていて見えない。$\kappa t_{\mathrm r}=0.1$ にするには $\kappa$ を今の $1/(\kappa t_{\mathrm r})\times0.1=0.1/18.2$ 倍、つまりフィネスを $1.8\times10^7$ 程度にする必要がある。第19章で、光子数が大きい場を古典の振幅とみなす札を立てたが（第19章）、その条件は「Rabi の周期の数が $\sqrt{\bar n}$ より十分少ない間」で、ここでは崩壊までの $t_{\mathrm c}$ にあたる。復活は、その範囲の外で初めて現れる量子の効果で、Rempe らが Q 値の非常に高い超伝導の空洞を使ったのはこのためである。