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4つの問いで巻を読み返す

2026年10月15日10分で読めますAI生成教科書『虎の巻』第35章 終章：モードと2準位系で何が言えたか
目次
  1. 部ごとの答え
  2. 調和振動子の基底状態が4回現れた
  3. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

光学と量子エレクトロニクス　第35章 §35.1　★★★ 6つの部はどれも「場のモード・物質のモデル・結合・近似」の4つで書け、調和振動子の基底状態が4つの場所に現れた

序章（第1章）では、光の物理を3つの部品で書くと約束した。1つ目は電磁場のモードで、モード1つが調和振動子1つに当たる。2つ目は物質のモデルで、古典の Lorentz 振動子か量子の2準位系に縮める。3つ目は両者の結合 −d^⋅E-\hat{\bm{d}}\cdot\bm{E} で、そこに双極子近似と回転波近似を当てる。各章はこの3つの選び方を述べたあと、何を近似したかを書き出し、近似ごとに第V巻（近似の数理）の言葉で札を置いてきた。この章では、この約束がどこまで果たせたかを、結果と近似の両方の側から確かめる。

35.1節では、6つの部で選んだ部品と出てきた式を1枚の表に並べ直し、表には書かれていなかった筋として、調和振動子の基底状態が4つの場所に現れたことを確かめる。35.2節では、序章で予告した3本の筋（分極率・櫛・球）を、実際に章を書いたあとの形で回収する。35.3節では、87Rb{}^{87}\mathrm{Rb} の D2 線という1つの原子について、巻に出てきた小さいパラメータを桁で並べ、巻の近似が成り立つ理由と破れる場所を数で示す。35.4節では、各章に置いた近似の裏付けの札を1枚の表に集め、型と証明の状況で数える。35.5節では、巻の道具が光の量子技術（原子時計・中性原子の量子計算・量子計測・量子通信）のどこで使われるかを地図にする。35.6節で授業で習った公式とこの巻の式の対応を表にし、35.7節でまとめる。新しい導出はほとんど無く、前の章の結果を引いて並べる章である。引いた結果には、示した章を書き添える。

部ごとの答え

序章の表（第1章）は、各部で何を取り出すかの予定だった。表 35.1 は、章を書いたあとで、各部で実際に出てきた代表の式を同じ並びで書き直したものである。第6部（第30〜34章）も、章を書いたあとの式で埋めた。

表 35.1　各部で選んだ部品と出てきた代表の式
部場のモード物質のモデル結合と近似出てきた代表の式
第1部 光線とビーム光線・Hermite–Gauss モード屈折率 n(r)n(\bm{r})・鏡・レンズ幾何光学・近軸近似光線行列の det⁡M=1\det\mathsf M=1、q→(Aq+B)/(Cq+D)q\to(Aq+B)/(Cq+D)、安定条件 0<g1g2<10<g_1g_2<1
第2部 回折・干渉横の波数で番号を付けた平面波開口・干渉計Fresnel・Fraunhofer 近似Airy 円盤 1.22λ/D1.22\lambda/D、回折限界 0.61λ/NA0.61\lambda/\mathrm{NA}、フィネス πR/(1−R)\pi\sqrt R/(1-R)
第3部 振動子のモデル平面波Lorentz・Drude 振動子線形応答・局所場n~=εr\tilde n=\sqrt{\varepsilon_{\mathrm r}}、Kramers–Kronig、Brewster 角、Faraday 回転の非相反
第4部 2準位系とレーザー共振器の縦モード2準位（3・4準位）回転波近似・レート方程式Pe=(Ω/Ω′)2sin⁡2(Ω′t/2)P_e=(\Omega/\Omega')^2\sin^2(\Omega't/2)、A21=ℏω3B21/(π2c3)A_{21}=\hbar\omega^3B_{21}/(\pi^2c^3)、νn=nνrep+νceo\nu_n=n\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}
第5部 原子を光で操る平面波・集光ビーム2準位＋重心の運動回転波近似・断熱消去・半古典U=ℏΩ2/(4Δ)U=\hbar\Omega^2/(4\Delta)、kBTD=ℏΓ/2k_{\mathrm B} T_{\mathrm D}=\hbar\Gamma/2
第6部 光の量子論量子化したモード2準位Jaynes–Cummings・Markov 近似ℏg0(σ+a^+σ−a^†)\hbar g_0(\sigma_+\hat a+\sigma_-\hat a^\dagger)（式 (30.18)）、g(2)(0)g^{(2)}(0)（式 (32.6)）、Γ=ω03deg2/(3πε0ℏc3)\Gamma=\omega_0^3d_{eg}^2/(3\pi\varepsilon_0\hbar c^3)（式 (34.13)）、真空 Rabi 分裂 2ℏg2\hbar g（式 (34.22)）

表を縦に読むと、場の扱いは光線から波、波から光子へと細かくなり、物質の扱いは屈折率という1つの数から振動子、2準位系へと細かくなる。細かくなるたびに、前の部の結果は新しい部の極限として戻ってくる。光線の行列は近軸のガウスビームの qq の変換にそのまま現れ（第4章）、Lorentz 振動子の分極率は、2準位原子の光 Bloch 方程式の弱い光での定常解に、γ/2=1/T2\gamma/2=1/T_2 と置いた形で戻ってきた（第19章）。Einstein の係数のレート方程式は、光 Bloch 方程式のコヒーレンスを断熱消去した極限として出た（第21章）。巻の各部は別々の理論ではなく、同じ3つの部品のどこまでを細かく書くかの違いになっている。

調和振動子の基底状態が4回現れた

序章は場のモードを調和振動子と読んだが、調和振動子は場のモード以外の所にも現れた。しかも4つの場所で、その基底状態（Gauss 関数）が答えになった。

1つ目はガウスビームである。近軸波動方程式は、光線の Hamiltonian を p^=−(i/k0)∇⊥\hat p=-(\mathrm{i}/k_0)\nabla_\perp で量子化した2次元の Schrödinger 方程式で、ガウスビームは位置と傾きの不確定性の積が最小になる波束だった（第4章）。ここでは 1/k01/k_0 が ℏ\hbar の役をする。2つ目は能動モード同期のパルスである。1周の主方程式で、利得の帯域が時間の2階微分に、変調の損失が時間の2乗になり、定常なパルスは調和振動子の基底状態の形になった（第23章）。ここでは時間と周波数が位置と運動量の役をし、Gauss 型のパルスの時間帯域幅積 0.4410.441 が最小不確定の言い換えになる。3つ目は量子化した場のモードそのもので、真空状態とコヒーレント状態は、直交位相の2つの成分の不確定性の積が最小になる状態である（第30章・第31章）。4つ目は光ピンセットの底に捕まった原子で、ポテンシャルの底を2次で近似すると原子の重心が調和振動子になる（第25章・第27章）。

4つに共通するのは、2次の Hamiltonian と、それが作る最小不確定の波束である。2次の Hamiltonian は線形の正準変換で閉じるので（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第2部第10章）、Gauss 関数は Gauss 関数のまま変換され、幅と曲率だけが変わる。ガウスビームの qq パラメータが光線行列の1次分数変換で動くのは、この性質の光学での姿である。

例題 35.1　3つの最小不確定を同じ式で書く ★★

オリジナル

  1. (1) 波長 λ=1064 nm\lambda=1064\,\mathrm{nm}、ビームの半径 w0=1 mmw_0=1\,\mathrm{mm} のガウスビームの広がり角 θ0=λ/(πw0)\theta_0=\lambda/(\pi w_0) を求めよ。強度の分布 e−2x2/w02\mathrm{e}^{-2x^2/w_0^2} の標準偏差 σx=w0/2\sigma_x=w_0/2 と、遠方での傾きの分布の標準偏差 σθ=θ0/2\sigma_\theta=\theta_0/2 の積が 1/(2k)1/(2k)（k=2π/λk=2\pi/\lambda）になることを確かめよ。
  2. (2) 強度が Gauss 型のパルスで、強度の時間の標準偏差 σt\sigma_t と、パワースペクトルの角周波数の標準偏差 σω\sigma_\omega が σtσω=1/2\sigma_t\sigma_\omega=1/2 を満たすとき、時間とスペクトルの半値全幅の積 Δt Δν\Delta t\,\Delta\nu が 2ln⁡2/π≈0.4412\ln2/\pi\approx0.441 になることを示せ。
  3. (3) 1つのモードの直交位相 X^1=(a^+a^†)/2\hat X_1=(\hat a+\hat a^\dagger)/2、X^2=(a^−a^†)/(2i)\hat X_2=(\hat a-\hat a^\dagger)/(2\mathrm{i}) について、コヒーレント状態 ∣α⟩| \alpha \rangle で ΔX1 ΔX2=1/4\Delta X_1\,\Delta X_2=1/4 を示せ。
解答

(1) θ0=1.064×10−6/(π×10−3)≈3.39×10−4 rad\theta_0=1.064\times10^{-6}/(\pi\times10^{-3})\approx3.39\times10^{-4}\,\mathrm{rad}。σxσθ=w02⋅λ2πw0=λ4π=12k≈8.47×10−8 m\sigma_x\sigma_\theta=\frac{w_0}{2}\cdot\frac{\lambda}{2\pi w_0}=\frac{\lambda}{4\pi}=\frac{1}{2k}\approx8.47\times10^{-8}\,\mathrm m で、w0w_0 によらない。太いビームほど広がらず、細く絞ったビームほど速く広がるのは、この積が一定であることの言い換えである。ℏ\hbar の代わりに 1/k1/k が入った不確定性関係になっている。

(2) Gauss 関数の半値全幅は標準偏差の 22ln⁡22\sqrt{2\ln2} 倍なので、Δt=22ln⁡2 σt\Delta t=2\sqrt{2\ln2}\,\sigma_t、Δν=22ln⁡2 σω/(2π)\Delta\nu=2\sqrt{2\ln2}\,\sigma_\omega/(2\pi) である。積は

Δt Δν=8ln⁡22πσtσω=8ln⁡22π⋅12=2ln⁡2π≈0.441\Delta t\,\Delta\nu=\frac{8\ln2}{2\pi}\sigma_t\sigma_\omega=\frac{8\ln2}{2\pi}\cdot\frac12=\frac{2\ln2}{\pi}\approx0.441

となり、第23章の Gauss 型の時間帯域幅積と一致する。チャープの無いパルスがこの値を取り、チャープがあるとこれより大きくなる。

(3) a^∣α⟩=α∣α⟩\hat a| \alpha \rangle =\alpha| \alpha \rangle から ⟨X^1⟩=Re⁡α\langle \hat X_1 \rangle =\operatorname{Re}\alpha、⟨X^12⟩=14⟨a^2+a^†2+a^a^†+a^†a^⟩=14(α2+α∗2+2∣α∣2+1)=(Re⁡α)2+14\langle \hat X_1^2 \rangle =\frac14\langle \hat a^2+\hat a^{\dagger2}+\hat a\hat a^\dagger+\hat a^\dagger\hat a \rangle =\frac14(\alpha^2+\alpha^{*2}+2\lvert \alpha\rvert ^2+1)=(\operatorname{Re}\alpha)^2+\frac14。よって (ΔX1)2=1/4(\Delta X_1)^2=1/4 で、同様に (ΔX2)2=1/4(\Delta X_2)^2=1/4、積は ΔX1ΔX2=1/4\Delta X_1\Delta X_2=1/4 である。[X^1, X^2]=i/2\left[\hat X_1,\,\hat X_2\right]=\mathrm{i}/2 から出る下限 1/41/4 に等しい。3つの例はどれも、互いに Fourier 変換の関係にある2つの量の幅の積が下限に達した Gauss 型の状態である。

木下の勉強ステータス

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