3本の筋の回収：分極率・櫛・球

光学と量子エレクトロニクス　第35章 §35.2　★★★ 分極率 $\alpha(\omega)$ は屈折率と光の力を、縦モードの櫛は光の周波数の数え方を、Pauli 行列は偏光と2準位原子を、それぞれ1つの式で結んだ

分極率：屈折率と光の力は同じ量の2つの顔

序章で予告した1つ目の筋は分極率 $\alpha(\omega)$ だった。第3部では、希薄な気体の屈折率が $n-1\approx N\operatorname{Re}\alpha/(2\varepsilon_0)$（$N$ は原子の数密度）で決まり（第11章）、吸収係数が $\alpha_{\mathrm{abs}}=N\sigma_{\mathrm{abs}}$、断面積が $\sigma_{\mathrm{abs}}=\omega\operatorname{Im}\alpha/(\varepsilon_0c)$ で決まった（第10章）。第5部では、同じ $\alpha$ の実部が双極子力のポテンシャル $U=-\frac14\operatorname{Re}\alpha\lvert E_0\rvert ^2$ を、虚部が散乱力 $\sigma_{\mathrm{abs}}I/c$ を決めた（第25章）。

2つの式から $\operatorname{Re}\alpha$ を消すと、強度 $I=\frac12c\varepsilon_0\lvert E_0\rvert ^2$ を使って

$$U=-\frac{(n-1)I}{Nc}\tag{35.1}$$

を得る。気体の屈折率を測れば、同じ光で原子1個が感じるポテンシャルの深さが、物質のモデルを決めずに分かる。$n>1$ の気体の原子は光の強い所へ引き寄せられ、$n<1$ の気体の原子は押し出される。虚部の側も同じ形で、吸収係数を原子の数密度で割ったもの $\sigma_{\mathrm{abs}}=\alpha_{\mathrm{abs}}/N$ に $I/c$ を掛けると散乱力になる。屈折と光の力、吸収と光の圧力は、同じ複素数 $\alpha(\omega)$ の実部と虚部を、光の側から見るか原子の側から見るかの違いである。図 35.1 は Lorentz 振動子の $\operatorname{Re}\alpha$ で、共鳴より低い周波数（赤い離調）では正、高い周波数（青い離調）では負になる。屈折率が $1$ より大きいか小さいかと、原子が引き寄せられるか押し出されるかは、この曲線の符号1つで同時に決まる。

縦モードの櫛：光の周波数を数える

2つ目の筋は縦モードの櫛だった。第5章の共振器の縦モードは間隔 $\nu_{\mathrm{FSR}}$ で並ぶ（第5章）。第23章で、その位相をそろえるとパルス列になり、1周ごとに搬送波と包絡線の位相が $\Delta\phi_{\mathrm{ce}}$ ずつずれるパルス列のスペクトルが、厳密に

$$\nu_n=n\,\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}},\qquad\nu_{\mathrm{ceo}}=\frac{\Delta\phi_{\mathrm{ce}}}{2\pi}\nu_{\mathrm{rep}}\tag{35.2}$$

の櫛になることを示した（第23章）。$\nu_{\mathrm{rep}}$ と $\nu_{\mathrm{ceo}}$ はどちらもマイクロ波の周波数で、電子回路で数えることができる。未知の光の周波数は、櫛の歯とのうなりの周波数 $f_{\mathrm b}$ を測れば、$\nu=n\nu_{\mathrm{rep}}+\nu_{\mathrm{ceo}}\pm f_{\mathrm b}$ で決まる。光の周波数（$10^{14}\,\mathrm{Hz}$ の桁）を、マイクロ波の周波数（$10^8\,\mathrm{Hz}$ の桁）の整数倍と端数に分けて数えるのが光周波数コムで、第28章の原子時計で時計の光の周波数を秒の定義につなぐ道具になる（第28章）。式 (35.2) は周期的なパルス列についての恒等式なので、近似の札は付かない。この巻で札の無い結果の数少ない例である。

Poincaré 球と Bloch 球：Pauli 行列が1組だけ

3つ目の筋は2つの球だった。偏光の Jones ベクトル $\psi=(E_x,E_y)^{\mathsf T}$ から Stokes パラメータを $(S_1,S_2,S_3)=\psi^\dagger(\sigma_z,\sigma_x,\sigma_y)\psi$ で作ると Poincaré 球になり（第15章）、2準位原子の状態 $(c_e,c_g)^{\mathsf T}$ から Bloch ベクトルを $(u,v,w)=\langle (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z) \rangle$ で作ると Bloch 球になる（第19章）。同じ Pauli 行列を使うので、$E_x\leftrightarrow c_e$、$E_y\leftrightarrow c_g$ と読み替えると、2つの球は軸の名前を

$$S_1\leftrightarrow w,\qquad S_2\leftrightarrow u,\qquad S_3\leftrightarrow v\tag{35.3}$$

と付け替えただけの同じ球になる。水平偏光 $| H \rangle$ が励起状態 $| e \rangle$（北極）に、垂直偏光 $| V \rangle$ が基底状態 $| g \rangle$（南極）に当たる。

球の上の点を動かす操作も対応する。進相軸の角 $\theta$、位相差 $\Gamma$ の波長板 $\mathsf W(\theta,\Gamma)=\mathsf R(\theta)\,\mathrm{diag}(1,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Gamma})\,\mathsf R(-\theta)$ は、全体の位相を除いて Poincaré 球の経度 $2\theta$ の軸のまわりの角 $\Gamma$ の回転である（第15章）。とくに $\theta=-45^\circ$ では

$$\mathsf W(-45^\circ,\Gamma)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\Gamma/2}\exp\Bigl(\frac{\mathrm{i}\Gamma}{2}\sigma_x\Bigr)\tag{35.4}$$

になる。一方、共鳴（$\Delta=0$）の光を時間 $t$ だけ当てた2準位原子の時間発展は、回転座標の Hamiltonian $\hat H=-\frac{\hbar\Omega}{2}\sigma_x$ から $\exp(\mathrm{i}\Omega t\sigma_x/2)$ である（第18章）。2つは $\Gamma=\Omega t$ で同じ行列になる。$\lambda/4$ 板は $\pi/2$ パルス、$\lambda/2$ 板は $\pi$ パルスに当たり、進相軸の向きは Rabi 周波数の位相（回転軸の経度）に当たる。閉じた道を回ったときの Pancharatnam 位相が Berry 位相と同じ式になるのも、この対応による（第15章・解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第4部第9章）。