この章のまとめ

(1) $\omega_0=2\pi c/\lambda_0\approx2.414\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Gamma\approx3.812\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}$ から

$$d=\sqrt{\frac{3\pi\varepsilon_0\hbar c^3\Gamma}{\omega_0^3}}\approx2.53\times10^{-29}\,\mathrm{C\,m}\approx2.99\,ea_0$$

である。寿命 $1/\Gamma=26\,\mathrm{ns}$ は、原子の大きさ $a_0$ と電気素量 $e$ の積の3倍程度の双極子で決まっている。

(2) $T_{\mathrm D}=\hbar\Gamma/(2 k_{\mathrm B})\approx146\,\mu\mathrm K$、$T_{\mathrm{rec}}=\hbar^2k^2/(m k_{\mathrm B})\approx0.362\,\mu\mathrm K$（例題 35.4）。

(3) $I=2/(\pi\times10^{-10})\approx6.37\times10^9\,\mathrm{W\,m^{-2}}$、$E_0=\sqrt{2I/(c\varepsilon_0)}\approx2.19\times10^6\,\mathrm{V\,m^{-1}}$、$\Omega=dE_0/\hbar\approx5.26\times10^{11}\,\mathrm{s^{-1}}$ で、$\Omega/\omega_0\approx2.2\times10^{-4}$。$\omega_{\mathrm L}\approx1.770\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$、$\Delta=\omega_{\mathrm L}-\omega_0\approx-6.44\times10^{14}\,\mathrm{s^{-1}}$（赤い離調）。

$$U=-\frac14\alpha E_0^2=-\frac{\hbar\Omega^2}{4}\cdot\frac{2\omega_0}{\omega_0^2-\omega_{\mathrm L}^2}\approx-1.31\times10^{-26}\,\mathrm J,\qquad U/ k_{\mathrm B}\approx-0.948\,\mathrm{mK}$$

である。回転波近似では $U_{\mathrm{RWA}}/ k_{\mathrm B}\approx-0.822\,\mathrm{mK}$ で、比は $U/U_{\mathrm{RWA}}=2\omega_0/(\omega_0+\omega_{\mathrm L})\approx1.154$。第1章の総合問題（第1章）は同じ罠を丸めた与値 $d=2.5\,ea_0$ で解いて $0.662\,\mathrm{mK}$ を得た。深さは $d^2$ に比例するので、比 $(2.99/2.5)^2=1.43$ がそのまま現れる。罠の深さは Doppler 限界の約 $6.5$ 倍なので、Doppler 限界まで冷やした原子（エネルギーの分布の大部分が $k_{\mathrm B} T_{\mathrm D}$ の数倍以下）は捕まる。

(4) $\Gamma_{\mathrm{sc}}\approx(3.812\times10^7/6.44\times10^{14})\times1.31\times10^{-26}/1.0546\times10^{-34}\approx7.3\,\mathrm{s^{-1}}$。$k_{\mathrm L}=2\pi/\lambda_{\mathrm L}$ で $E_{\mathrm{rec}}/ k_{\mathrm B}\approx97\,\mathrm{nK}$ なので、加熱の速さは $2E_{\mathrm{rec}}\Gamma_{\mathrm{sc}}/ k_{\mathrm B}\approx1.4\,\mu\mathrm K\,\mathrm s^{-1}$、罠の深さ $0.948\,\mathrm{mK}$ に達するまでの時間は約 $660\,\mathrm s$ である。遠く離調した光の罠では、原子は1秒に数回しか光を散乱せず、分単位で罠の中にとどまる。$\Gamma_{\mathrm{sc}}$ と $U$ の比は $\Gamma/\lvert \Delta\rvert$ で、離調を大きくするほど、同じ深さに対して散乱が少なくなる。

(5) $\Omega/\omega_0\approx2.2\times10^{-4}$、$\lvert \Delta\rvert /(\omega_0+\omega_{\mathrm L})\approx0.154$、$\omega_{\mathrm{rec}}/\Gamma\approx6.2\times10^{-4}$ である。誤差がもっとも大きいのは回転波近似で、捨てた反共鳴の項が罠の深さを $15\%$ 変える（(3) の比）。(4) の散乱の速さも回転波近似の形で見積もったので、同じ桁の誤差を含む。2準位への縮約（A 型の札）について、${}^{87}\mathrm{Rb}$ には波長 $795\,\mathrm{nm}$ の D1 線（$5\mathrm S_{1/2}\to5\mathrm P_{1/2}$）があり、$1064\,\mathrm{nm}$ の光は D1 線からも D2 線からも同じ桁だけ離れているので、D1 線の分極率への寄与を捨てていることになる。$1064\,\mathrm{nm}$ の罠の深さを正しく出すには、両方の線を足した分極率が要る（第25章）。