出てくるもの（2）：光子との結合と、放出の $n+1$

光学と量子エレクトロニクス　第30章 §30.4　★★★ $-\hat{\bm{d}}\cdot\hat{\bm{E}}$ に回転波近似を当てると $\hbar g_0(\sigma_+\hat a+\sigma_-\hat a^\dagger)$。吸収の行列要素は $\sqrt n$、放出は $\sqrt{n+1}$ で、$+1$ が自然放出。光子が多いと古典の Rabi 周波数に戻る

結合の Hamiltonian

物質のモデルは第18章の2準位原子 $\hat H_{\mathrm A}=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z$ で、結合は双極子近似の $-\hat{\bm{d}}\cdot\hat{\bm{E}}(\bm{r}_0)$（$\bm{r}_0$ は原子の位置）である。第18章との違いは、$\bm{E}$ が古典の関数から式 (30.8) の演算子に替わることだけである。原子と共鳴に近い1つのモードだけを残し、$\bm{d}_{eg}$ を実数でモードの偏光に平行、$\bm{u}(\bm{r}_0)$ を実数に選ぶと、Schrödinger 描像で

$$-\hat{\bm{d}}\cdot\hat{\bm{E}}(\bm{r}_0)=-\mathrm{i}\,dE_{\mathrm{ph}}(\bm{r}_0)\,(\sigma_++\sigma_-)(\hat a-\hat a^\dagger),\qquad E_{\mathrm{ph}}(\bm{r}_0)=\sqrt{\frac{\hbar\omega}{2\varepsilon_0}}\,\lvert \bm{u}(\bm{r}_0)\rvert$$

になる（$d=\lvert \bm{d}_{eg}\rvert$）。右辺を展開した4つの項のうち、$\sigma_+\hat a$（原子が上がり光子が1個減る）と $\sigma_-\hat a^\dagger$（原子が下がり光子が1個増える）は相互作用描像で $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}(\omega_0-\omega)t}$ とゆっくり回り、$\sigma_+\hat a^\dagger$ と $\sigma_-\hat a$ は $\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}(\omega_0+\omega)t}$ と速く回る。回転波近似で後の2つを捨て、モードの位相の原点を選び直して $\hat a\to\mathrm{i}\hat a$ とすると

$$\hat H=\frac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z+\hbar\omega\,\hat a^\dagger\hat a+\hbar g_0\bigl(\sigma_+\hat a+\sigma_-\hat a^\dagger\bigr),\qquad g_0=\frac{dE_{\mathrm{ph}}(\bm{r}_0)}{\hbar}\tag{30.18}$$

を得る（場の零点のエネルギーは定数なので省いた）。$g_0$ を結合定数と呼ぶ。これが第34章で扱う Jaynes–Cummings の模型の Hamiltonian である。

吸収は $\sqrt n$、放出は $\sqrt{n+1}$

$\hat a| n \rangle =\sqrt n| n-1 \rangle$、$\hat a^\dagger| n \rangle =\sqrt{n+1}| n+1 \rangle$ から、式 (30.18) の結合の行列要素は

$$\langle e,n-1 | \hat H | g,n \rangle =\hbar g_0\sqrt n\quad(\text{吸収}),\qquad\langle g,n+1 | \hat H | e,n \rangle =\hbar g_0\sqrt{n+1}\quad(\text{放出})\tag{30.19}$$

である。結合は $| e,n \rangle$ と $| g,n+1 \rangle$ の2つの状態だけをつなぎ、その組の中で問題は第18章の $2\times2$ の行列と同じ形になる。共鳴で $| e,n \rangle$ から出発すると

$$P_e(t)=\cos^2\bigl(g_0\sqrt{n+1}\,t\bigr),\qquad\Omega_n=2g_0\sqrt{n+1}\tag{30.20}$$

で、Rabi 振動の角周波数 $\Omega_n$ は光子数で決まる。$n=0$（真空）でも $\Omega_0=2g_0$ で振動し、これを真空 Rabi 振動と呼ぶ（第34章）。

古典の場の振幅 $E_0$ のモードのエネルギーは、時間平均で $\varepsilon_0E_0^2V_{\mathrm m}/2$（電場と磁場の分を合わせる）である。これを $n\hbar\omega$ に等しいとおくと $E_0=2E_{\mathrm{ph}}\sqrt n$ で、古典の Rabi 周波数は $\Omega=dE_0/\hbar=2g_0\sqrt n$ になる。式 (30.20) の $\sqrt{n+1}$ と古典の $\sqrt n$ の比は $\sqrt{1+1/n}$ で、光子が多いモードでは2つを区別することができない。第4・5部の半古典の扱いは、この $n\to\infty$ の極限を使っていた（光子数が揺らいだレーザー光での正確な戻り方は第31章で扱う）。

放出の $+1$ が自然放出

光子数 $n$ のモードへの放出の確率は、行列要素の2乗 $\lvert \hbar g_0\rvert ^2(n+1)$ に比例し、吸収は $\lvert \hbar g_0\rvert ^2n$ に比例する。放出のうち $n$ に比例する分は、すでにある光子が原子を下へ押す誘導放出で、吸収と同じ係数を持つ。残りの $1$ は光子が無くても起こる放出で、これが自然放出である。第20章で Einstein が熱平衡の条件から導いた3つの過程（$B_{12}$・$B_{21}$・$A_{21}$）は、行列要素の $\sqrt n$ と $\sqrt{n+1}$ から1つの規則として出る。

原子が多くのモードに結合しているときは、原子の遷移の近くにある各モードへの速さを足す。モードの光子数の平均が $n_{\mathrm B}$ の熱放射なら、

$$W_{\mathrm{em}}=A_{21}\bigl(n_{\mathrm B}(\omega_0)+1\bigr),\qquad W_{\mathrm{abs}}=A_{21}\,n_{\mathrm B}(\omega_0)\tag{30.21}$$

になる（縮退の無い2準位）。ここで $A_{21}$ は真空のモードに放出する速さで、すべてのモードについての和を第34章で実行する。$u(\omega)=\frac{\hbar\omega^3}{\pi^2c^3}n_{\mathrm B}$ を使うと$B_{21}u(\omega_0)=A_{21}n_{\mathrm B}$ は $A_{21}=\frac{\hbar\omega_0^3}{\pi^2c^3}B_{21}$ と同じ式で、記法の正本と第20章の関係に一致する。第20章では Planck の分布を前提にこの関係を出したが、この章では逆に、行列要素の $n+1$ と $n$ から熱平衡の占有の比が出る（例題 30.4）。

自然放出の光は、どのモードに出るかも位相も決まっていない。レーザーの発振のモードに入る自然放出の光子が、発振の線幅を決める（第22章の Schawlow–Townes の線幅）。場を古典の関数にすると $n+1$ が $n$ になるので、半古典のレーザー理論ではこの線幅が出ない。