何を近似したか・何の実験の量で確かめるか

光学と量子エレクトロニクス　第30章 §30.5　★★ 場の量子化そのものは近似を含まない。近似は、モードを1つに絞ること・双極子近似・回転波近似の3つ。確かめる量は Lamb のずれ・真空 Rabi 振動の $\sqrt{n+1}$・光子数の量子飛躍

近似を含まない部分

真空の電磁場の Lagrangian は場の2次式で、モードへの分解と各モードの量子化は近似を含まない（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）。Coulomb ゲージの選択も、物理の結果を変えないゲージの固定である。箱の体積 $V$ は計算の都合で入れたもので、自由空間の量は $V\to\infty$ の極限で和を積分に置き換えて得る。式 (30.15) で $V$ が消えたように、物理の量は $V$ に依らない。

1つのモードに絞る近似

30.4節では、原子と共鳴に近い1つのモードだけを残した。ほかのモードを捨てることは、状態を「原子の2準位 $\otimes$ 1つのモード」の部分空間に限る A 型（射影）の近似である。この近似は、隣のモードまでの離調（共振器の縦モードなら FSR $=c/(2L)$、第5章）が結合 $g_0\sqrt{n+1}$ より十分大きく、ほかのモードへの放出がこのモードとの結合より遅いときに使える。自由空間では、原子の線幅の中に入るモードの数が膨大なので、1つのモードに絞ることはできず、すべてのモードの和を取る必要がある（第34章の Wigner–Weisskopf の扱い）。双極子近似（$ka_0\to0$）は第18章の札をそのまま使う（第18章）。

何の実験の量で確かめるか

場の量子化を確かめる量は、半古典の扱いでは出ないものに限られる。第一はLamb のずれで、水素の $2s_{1/2}$ と $2p_{1/2}$ は Dirac 方程式では縮退するが、測定では約 $1000\,\mathrm{MHz}$ 離れていた（Lamb, Retherford（1947））。真空の揺らぎの見積もり（例題 30.3）は、この桁を説明する。第二はCasimir 力で、零点のエネルギーが壁の位置で変わる分が力として測られる（解析力学から様々な理論分野を組み立てる 第5部第3章）。

第三は、光子の数が少ないモードでの Rabi 振動である。Brune らは、超伝導のマイクロ波共振器に Rydberg 原子を1個ずつ通し、原子の励起の確率の時間変化を Fourier 変換して、周波数が $\sqrt{n+1}$ の比で並ぶ成分を観測した（Brune ほか（1996）、Phys. Rev. Lett. 76, 1800）。古典の場の振幅が連続に分布しているだけなら、周波数は離散の値に並ばない。同じ装置で Gleyzes らは、原子を共振器と共鳴させずに通して光子数を壊さずに読み出し、共振器の中の光子が1個から0個へ飛び移る瞬間（光子数の量子飛躍）を記録した（Gleyzes ほか（2007）、Nature 446, 297）。光子を1個ずつ数える検出器の相関（アンチバンチング）は第32章で扱う。