この章のまとめ

(1) 式 (2.9.12) から $L=\frac12M\dot q^2-\frac{q^2}{2C}$ で、Euler–Lagrange 方程式は $M\ddot q+q/C=0$、$\omega_0=1/\sqrt{MC}$ である。$\omega_0=2\pi\times10^8\,\mathrm{s^{-1}}$ と $M=10^{-7}\,\mathrm H$ から $C=1/(\omega_0^2M)=2.53\times10^{-11}\,\mathrm F=25.3\,\mathrm{pF}$ である。

(2) $\bm{d}=q\ell\,\bm{e}$ なので式 (2.9.16) から $\bm{E}^{\mathrm{odd}}=\frac{\mu_0\ell}{6\pi c}\dddot q\,\bm{e}$、起電力は $\frac{\mu_0\ell^2}{6\pi c}\dddot q$ である。これは電流 $\dot q$ を流す向きの起電力なので、運動方程式は

$$M\ddot q+\frac{q}{C}=\frac{\mu_0\ell^2}{6\pi c}\,\dddot q$$

になる。調和振動 $q\propto\cos\omega_0t$ では $\dddot q=-\omega_0^2\dot q$ なので、右辺は $-R_{\mathrm{rad}}\dot q$ で

$$R_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0\ell^2\omega_0^2}{6\pi c}=\frac{2\pi}{3}Z_0\Bigl(\frac{\ell}{\lambda}\Bigr)^2\approx789\,\Omega\times\Bigl(\frac{\ell}{\lambda}\Bigr)^2$$

である（$\omega_0/c=2\pi/\lambda$ を使った）。3階微分を $-\omega_0^2\dot q$ に置き換える操作は、2.9.5節の2枚目の札の次数下げである。

(3) $\frac{\mathrm{d} \mathcal E_{\mathrm c}}{\mathrm{d} t}=\dot q\,(M\ddot q+q/C)$ に運動方程式 $M\ddot q+q/C=-R_{\mathrm{rad}}\dot q$ を入れると $-R_{\mathrm{rad}}\dot q^2$ を得る。一方、Larmor の仕事率は $\ddot{\bm{d}}^{\,2}=\ell^2\ddot q^2$ から $\frac{\mu_0\ell^2}{6\pi c}\langle \ddot q^2 \rangle$ で、調和振動では $\langle \ddot q^2 \rangle =\omega_0^2\langle \dot q^2 \rangle$ なので$\frac{\mu_0\ell^2\omega_0^2}{6\pi c}\langle \dot q^2 \rangle =R_{\mathrm{rad}}\langle \dot q^2 \rangle$ となり、回路が失うエネルギーの時間平均と一致する。回路から失われたエネルギーは、Poynting の定理のとおり遠方の球面を通って出ていく。

(4) $\lambda=c/f=3.00\,\mathrm m$ なので

$$R_{\mathrm{rad}}=789\,\Omega\times\Bigl(\frac{0.05}{3.00}\Bigr)^2=0.219\,\Omega,\qquad Q=\frac{\omega_0M}{R_{\mathrm{rad}}}=\frac{62.8\,\Omega}{0.219\,\Omega}=286,\qquad \frac{M}{R_{\mathrm{rad}}}=4.56\times10^{-7}\,\mathrm s$$

である。1周期 $10\,\mathrm{ns}$ に比べて減衰の時間は約 $46$ 周期分あり、(2) で振動をほぼ調和振動とした仮定が成り立っている。

(5) $\frac{\partial L}{\partial \dot q}=a\dot q+b\ddot q$、$\frac{\partial L}{\partial \ddot q}=b\dot q+c_q\ddot q$ なので

$$-kq-\bigl(a\ddot q+b\dddot q\bigr)+\bigl(b\dddot q+c_q\,q^{(4)}\bigr)=-kq-a\ddot q+c_q\,q^{(4)}=0$$

となり、$b\,\dddot q$ の2つの項は打ち消し合う。$b\dot q\ddot q=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(\frac12b\dot q^2)$ は全微分なので、運動方程式に寄与しないことと同じである。2次の Lagrangian から出る方程式は、$t\to-t$ で符号を変えない偶数階の微分だけからなり、時間反転について対称である。(2) の $\dddot q$ の項は $t\to-t$ で符号を変える散逸の項なので、この形の Lagrangian からは出ない。2.9.5節で見たとおり、この項は場を消去した作用に入らない遅延と先進の差の部分から現れた。