この章のまとめ

(1) $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ と $J^\mu A_\mu$ の項は 2.8.1節・2.8.3節のとおりゲージ不変（後者は全微分だけ変わる）。質量の項は$A_\mu A^\mu\to(A_\mu-\partial_\mu\Lambda)(A^\mu-\partial^\mu\Lambda)=A_\mu A^\mu-2A^\mu\partial_\mu\Lambda+\partial_\mu\Lambda\,\partial^\mu\Lambda$ なので、1次の変化は$-\frac{\kappa^2}{\mu_0}A^\mu\partial_\mu\Lambda$ である。これは $A$ によって決まる量で、勝手な $\Lambda$ について全微分にはならない（例えば $A^\mu$ が定数でない場合、$A^\mu\partial_\mu\Lambda=\partial_\mu(A^\mu\Lambda)-\Lambda\,\partial_\mu A^\mu$ の2項目が残る）。$\kappa\neq0$ ではゲージ不変でない。

(2) 第6章の総合問題 (1) の方程式で $1/\lambda^2$ を $\kappa^2$ に置き換えて、$\partial_\mu F^{\mu\nu}+\kappa^2A^\nu=\mu_0J^\nu$ である。

(3) 発散を取る計算は第6章の総合問題 (2) と同じである。恒等式 (2.8.11) で $\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0$、連続の方程式で $\partial_\nu J^\nu=0$ なので、$\kappa^2\partial_\nu A^\nu=0$。$\kappa\neq0$ なら $\partial_\nu A^\nu=0$ である。電磁場では Lorenz 条件は自分で課す条件（ゲージの固定）だったが、ここでは運動方程式から必ず従う。ゲージ不変性が無いので運動方程式どうしの間に第2定理の恒等式は無く、かわりに発散を取った式が新しい情報 $\partial_\nu A^\nu=0$ を含む。これを使うと (2) は $(\Box+\kappa^2)A^\nu=\mu_0J^\nu$ になる。

(4) 第6章の総合問題 (3) で、静的な $\nu=0$ 成分が $\nabla^2\phi-\lambda^{-2}\phi=-\rho/\varepsilon_0$ になり、点電荷の解が湯川型になることを示した。$\lambda=1/\kappa$ と書けば

$$\phi=\frac{Q\,\mathrm{e}^{-\kappa r}}{4\pi\varepsilon_0r}$$

である。$\kappa\to0$ では、Lorenz ゲージの方程式 (2.8.23) の静的な場合 $-\nabla^2\phi=\rho/\varepsilon_0$ の解、すなわち Coulomb のポテンシャルに戻る。

(5) $\phi$ について変分すると $\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho-\frac{\kappa^2}{\mu_0c^2}\phi=0$、すなわち $\phi=\frac{\mu_0c^2}{\kappa^2}(\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho)=\frac{\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho}{\varepsilon_0\kappa^2}$ と決まる。電磁場（$\kappa=0$）では $\phi$ の係数が拘束になり、$\phi$ そのものは決まらなかった。ここでは $\phi$ が2次で入るので、$\phi$ は方程式で決まり、Gauss の法則は拘束でなくなる。ゲージ変換の生成子になる拘束が無いので、$\tilde{\bm{A}}_\parallel$ も時間発展する自由度として残り、各 $\bm{k}$ で動く自由度は $\tilde{\bm{A}}$ の3成分、すなわち3つになる。$\kappa\to0$ で3から2へ不連続に減ることが、ゲージ不変性があるかないかの差である。

(6) $\phi/\phi_{\mathrm{Coulomb}}=\mathrm{e}^{-\kappa r}$ なので、$r=1\,\mathrm m$ で $\mathrm{e}^{-1}=0.368$ 倍、$r=3\,\mathrm m$ で $\mathrm{e}^{-3}=0.0498$ 倍。質量の項があると静電場は距離 $\kappa^{-1}$ ほどで指数関数的に弱まる。ゲージ場が質量を持つ例は超伝導体の中の電磁場で、磁場が表面から一定の深さまでしか入らない Meissner 効果になる（第5部第6章）。