出てくるもの（2）：$A_\mu$ の4成分のうち動くのは2つ

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第8章 §2.8.4　★★★ Hamilton 形式では $\phi$ が未定乗数、Gauss の法則が拘束になり、その拘束がゲージ変換の生成子になる

正準運動量と、運動量を持たない $\phi$

第2部第5章の手順に従って、作用 (2.8.2) を Hamilton 形式に書き直す。円周率と区別するため、この章では場の正準運動量を $\bm{\Pi}$ と書く。$\mathcal L=\frac{\varepsilon_0}{2}(\nabla\phi+\partial_t\bm{A})^2-\frac{1}{2\mu_0}(\nabla\times\bm{A})^2-\rho\phi+\bm{J}\cdot\bm{A}$ なので、

$$\bm{\Pi}\coloneqq\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\bm{A})}=\varepsilon_0(\nabla\phi+\partial_t\bm{A})=-\varepsilon_0\bm{E},\qquad \Pi_\phi\coloneqq\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_t\phi)}=0\tag{2.8.15}$$

である。$\mathcal L$ に $\phi$ の時間微分が入っていないので、$\phi$ の正準運動量は恒等的に $0$ になる。第1部第7章の言葉では、速度から運動量への写像が逆に解けない（Hessian $\partial^2\mathcal L/\partial\dot A_\mu\partial\dot A_\nu$ の $\phi$ の行と列が $0$）ので、Legendre 変換を $\phi$ について作ることができない。$\bm{A}$ についてだけ $\partial_t\bm{A}=\bm{\Pi}/\varepsilon_0-\nabla\phi$ と解いて Legendre 変換すると、Hamiltonian 密度は

$$\mathcal H=\bm{\Pi}\cdot\partial_t\bm{A}-\mathcal L=\frac{\bm{\Pi}^2}{2\varepsilon_0}+\frac{(\nabla\times\bm{A})^2}{2\mu_0}-\bm{\Pi}\cdot\nabla\phi+\rho\phi-\bm{J}\cdot\bm{A}\tag{2.8.16}$$

になる。$-\bm{\Pi}\cdot\nabla\phi$ を部分積分し（場は遠方で $0$ とする）、全空間で積分すると

$$H=\int\Bigl(\frac{\bm{\Pi}^2}{2\varepsilon_0}+\frac{(\nabla\times\bm{A})^2}{2\mu_0}-\bm{J}\cdot\bm{A}\Bigr)\mathrm{d}^3x+\int\phi\,\bigl(\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho\bigr)\mathrm{d}^3x\tag{2.8.17}$$

を得る。最初の2項は $\frac{\varepsilon_0}{2}\bm{E}^2+\frac{1}{2\mu_0}\bm{B}^2$ で、電磁場のエネルギー密度である。

$\phi$ は未定乗数、Gauss の法則は拘束

式 (2.8.17) で $\phi$ は1次でしか現れず、その係数が $\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho$ である。この形は第1部第6章の未定乗数の項 $\lambda\,g(q)$ と同じで、$\phi$ について変分すると

$$\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho=0\qquad\Longleftrightarrow\qquad \varepsilon_0\nabla\cdot\bm{E}=\rho\tag{2.8.18}$$

を得る。Gauss の法則が、時間発展の方程式でなく各時刻の $\bm{\Pi}$ が満たすべき拘束として現れた。同じことは $\Pi_\phi=0$ が時間がたっても保たれる条件からも出る。$\phi$ の Hamilton 方程式は $\partial_t\Pi_\phi=-\delta H/\delta\phi=-(\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho)$ なので、$\Pi_\phi=0$ を保つには式 (2.8.18) が要る。拘束のある系の Hamilton 形式を一般に整理したのは Dirac である¹1P. A. M. Dirac (1950), Canadian Journal of Mathematics 2, 129–148（題は Generalized Hamiltonian dynamics）。Lagrangian から直接出る拘束（ここでは $\Pi_\phi=0$）を第1種（primary）、それを時間がたっても保つ条件として出る拘束（ここでは Gauss の法則）を第2種（secondary）と呼ぶ。下の脚注へ閉じる。

残りの Hamilton 方程式は

$$\frac{\partial \bm{A}}{\partial t}=\frac{\delta H}{\delta\bm{\Pi}}=\frac{\bm{\Pi}}{\varepsilon_0}-\nabla\phi,\qquad \frac{\partial \bm{\Pi}}{\partial t}=-\frac{\delta H}{\delta\bm{A}}=-\frac{1}{\mu_0}\nabla\times(\nabla\times\bm{A})+\bm{J}$$

で、1本目は $\bm{E}=-\nabla\phi-\partial_t\bm{A}$ の定義、2本目は $\bm{\Pi}=-\varepsilon_0\bm{E}$ を入れると Ampère–Maxwell の法則になる。$\phi$ の時間発展を決める式はどこにも無い。$\phi$ は解くべき変数でなく、時間発展の式に入る係数を自分で選ぶ量になっている。

拘束がゲージ変換を生成する

場の Poisson 括弧を、第1部第11章の和 $\sum_i$ を空間の積分に置き換えて

$$\{F,G\}=\int\sum_{i=1}^3\Bigl(\frac{\delta F}{\delta A_i(\bm{x})}\frac{\delta G}{\delta\Pi_i(\bm{x})}-\frac{\delta F}{\delta\Pi_i(\bm{x})}\frac{\delta G}{\delta A_i(\bm{x})}\Bigr)\mathrm{d}^3x,\qquad \{A_i(\bm{x}),\Pi_j(\bm{x}')\}=\delta_{ij}\,\delta^{(3)}(\bm{x}-\bm{x}')\tag{2.8.19}$$

と定める（$A_i$ はここでは $\bm{A}$ の成分 $A^i$ を指す）。時刻によらない関数 $\Lambda(\bm{x})$ で Gauss の法則の左辺を重みづけた量

$$G[\Lambda]\coloneqq-\int\Lambda\,(\nabla\cdot\bm{\Pi}+\rho)\,\mathrm{d}^3x=\int\bigl(\nabla\Lambda\cdot\bm{\Pi}-\Lambda\rho\bigr)\mathrm{d}^3x\tag{2.8.20}$$

を生成子にして、第1部第9章の無限小変換 $\delta F=\epsilon\{F,G\}$ を作ると

$$\delta A_i(\bm{x})=\epsilon\,\frac{\delta G}{\delta\Pi_i(\bm{x})}=\epsilon\,\partial_i\Lambda(\bm{x}),\qquad \delta\Pi_i(\bm{x})=-\epsilon\,\frac{\delta G}{\delta A_i(\bm{x})}=0\tag{2.8.21}$$

になる。これはゲージ変換 (2.8.5) の $\bm{A}\to\bm{A}+\epsilon\nabla\Lambda$ そのものである。$\bm{\Pi}=-\varepsilon_0\bm{E}$ も $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ も変わらない。Gauss の法則という拘束が、ゲージ変換の生成子になっている。

式 (2.8.17) の最後の項は $G[-\phi]$ に等しい。したがって $\partial_t\bm{A}$ の式の $-\nabla\phi$ の部分は、時刻 $\mathrm{d} t$ ごとに $\Lambda=-\phi\,\mathrm{d} t$ のゲージ変換を施す分に当たる。$\phi$ を自分で選べることと、時間発展にどれだけゲージ変換を混ぜるかを自分で選べることは、同じ事情を言い換えたものである。拘束の上では $G[\Lambda]=0$ なので、Hamiltonian の値（エネルギー）は $\phi$ の選び方によらない。

自由度を数える

拘束とゲージ変換を Fourier 成分で見ると、何が残るかがはっきりする。$\bm{A}(\bm{x})=\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\tilde{\bm{A}}(\bm{k})\mathrm{e}^{\mathrm{i}\bm{k}\cdot\bm{x}}$ のように展開し、各 $\bm{k}$ ごとに $\tilde{\bm{A}}$ を $\bm{k}$ に平行な部分 $\tilde{\bm{A}}_\parallel=\bm{e}_{\bm{k}}(\bm{e}_{\bm{k}}\cdot\tilde{\bm{A}})$ と垂直な部分 $\tilde{\bm{A}}_\perp$ に分ける（$\bm{e}_{\bm{k}}=\bm{k}/k$ は $\bm{k}$ の向きの単位ベクトル）。$\bm{\Pi}$ も同じように分ける。すると

• 磁場は $\tilde{\bm{B}}=\mathrm{i}\bm{k}\times\tilde{\bm{A}}=\mathrm{i}\bm{k}\times\tilde{\bm{A}}_\perp$ で、平行な部分を含まない。
• ゲージ変換 (2.8.21) は $\tilde{\bm{A}}\to\tilde{\bm{A}}+\mathrm{i}\bm{k}\tilde\Lambda$ で、平行な部分 $\tilde{\bm{A}}_\parallel$ だけを勝手にずらす。
• Gauss の法則 (2.8.18) は $\mathrm{i}\bm{k}\cdot\tilde{\bm{\Pi}}+\tilde\rho=0$ で、$\tilde{\bm{\Pi}}_\parallel=\mathrm{i}\bm{e}_{\bm{k}}\tilde\rho/k$ を源で決めてしまう。

平行な部分の組 $(\tilde{\bm{A}}_\parallel,\tilde{\bm{\Pi}}_\parallel)$ は、座標がゲージで勝手に動き、運動量が拘束で決まるので、自分で時間発展する自由度を持たない。$(\phi,\Pi_\phi)$ も、$\phi$ が未定乗数で $\Pi_\phi=0$ なので同じである。残るのは垂直な部分 $(\tilde{\bm{A}}_\perp,\tilde{\bm{\Pi}}_\perp)$ で、$\tilde{\bm{A}}_\perp$ は $\bm{k}$ に垂直な平面の2成分を持つ。$A_\mu$ の4成分のうち、各点（各 $\bm{k}$）で時間とともに動く自由度は2つで、これが電磁波の2つの偏りである。相空間の次元で数えると、$(\phi,\bm{A},\Pi_\phi,\bm{\Pi})$ の8次元から、2つの拘束（$\Pi_\phi=0$ と Gauss の法則）がそれぞれ拘束そのものと対応するゲージの向きの2次元ずつを除き、$8-2\times2=4$ 次元、すなわち座標2つと運動量2つが残る。

$\bm{J}=0$ のとき、垂直な部分の Hamiltonian は $\int\frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}\bigl(\frac{1}{2\varepsilon_0}\lvert \tilde{\bm{\Pi}}_\perp\rvert ^2+\frac{k^2}{2\mu_0}\lvert \tilde{\bm{A}}_\perp\rvert ^2\bigr)$ で、各モードは角振動数 $\omega$ が $\omega^2=\frac{k^2/\mu_0}{\varepsilon_0}=c^2k^2$ の調和振動子になる。平行な部分は $\frac{1}{2\varepsilon_0}\lvert \tilde{\bm{\Pi}}_\parallel\rvert ^2=\frac{\lvert \tilde\rho\rvert ^2}{2\varepsilon_0k^2}$ で、源だけで決まる Coulomb のエネルギーである。振動子の集まりとしての電磁場を量子化すると光子になる（第5部第3章）。

1　P. A. M. Dirac (1950), Canadian Journal of Mathematics 2, 129–148（題は Generalized Hamiltonian dynamics）。Lagrangian から直接出る拘束（ここでは $\Pi_\phi=0$）を第1種（primary）、それを時間がたっても保つ条件として出る拘束（ここでは Gauss の法則）を第2種（secondary）と呼ぶ。