出てくるもの（3）：ゲージの固定と、$\bm{A}$ でしか書けない位相

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第8章 §2.8.5　★★ ゲージ軌道から代表を1つ選ぶ条件が Lorenz・Coulomb ゲージ。ゲージで消せない $\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ が Aharonov–Bohm の位相になる

ゲージ軌道と、そこから1つ選ぶ条件

1つの $A_\mu$ からゲージ変換で移れる $A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ の全体を、$A_\mu$ のゲージ軌道と呼ぶ。同じ軌道の上の $A_\mu$ はすべて同じ $F_{\mu\nu}$ になり、物理的に区別することができない。計算するときは、各軌道から代表を1つずつ選ぶ条件を課しておくと式が簡単になる。これをゲージの固定と呼ぶ（図 2.8.2）。

よく使う条件の1つ目は Lorenz ゲージ（L. V. Lorenz にちなむ。変換の名の Lorentz とは別人）

$$\partial_\mu A^\mu=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{A}=0\tag{2.8.22}$$

である。ゲージ変換で $\partial_\mu A^\mu\to\partial_\mu A^\mu-\Box\Lambda$ となるので、与えられた $A_\mu$ に対して波動方程式 $\Box\Lambda=\partial_\mu A^\mu$ を解いて $\Lambda$ を選べば、この条件にたどり着くことができる。$\partial_\mu F^{\mu\nu}=\Box A^\nu-\partial^\nu(\partial_\mu A^\mu)$ なので、このゲージでは Maxwell 方程式 (2.8.3) が4つの成分ごとに分かれた波動方程式

$$\Box A^\nu=\mu_0J^\nu,\qquad\text{すなわち}\quad \Box\phi=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\quad \Box\bm{A}=\mu_0\bm{J}\tag{2.8.23}$$

になる（$\Box=\frac{1}{c^2}\partial_t^2-\nabla^2$）。条件 (2.8.22) は計量を使って書いたので、Lorentz 変換で別の慣性系に移っても同じ形のまま保たれる。ただし条件は軌道から代表を1つに絞り切らない。$\Box\Lambda=0$ を満たす $\Lambda$ でゲージ変換しても条件は崩れないので、この分の不定性（残りのゲージ自由度）が残る。

2つ目は Coulomb ゲージ

$$\nabla\cdot\bm{A}=0\tag{2.8.24}$$

で、2.8.4節の言葉では $\tilde{\bm{A}}_\parallel=0$ と選ぶことに当たる。$\nabla^2\Lambda=-\nabla\cdot\bm{A}$ を解けばたどり着くことができる。このゲージでは Gauss の法則が $-\nabla^2\phi=\rho/\varepsilon_0$ となり、$\phi$ は各時刻の電荷分布から瞬時に決まる Coulomb のポテンシャルになる。$\phi$ が瞬時に決まっても電場の伝わり方が光速を超えるわけではない。$\bm{A}$ の側にも瞬時に決まる部分があり、$\bm{E}=-\nabla\phi-\partial_t\bm{A}$ にするとその部分が打ち消し合う。Coulomb ゲージは、動く自由度 $\tilde{\bm{A}}_\perp$ だけを残すので量子化と相性が良く、Lorenz ゲージは計量で書けるので相対論的な計算と相性が良い。

ゲージで消せない量：$\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$

ゲージ変換で変わらない量は $F_{\mu\nu}$ だけではない。閉じた曲線 $C$ についての線積分 $\oint_C\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ は、$\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$ で$\oint_C\nabla\Lambda\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ だけ変わるが、$\Lambda$ が1価の関数ならこれは $0$ である。Stokes の定理から、$C$ を縁とする面 $\Sigma$ を貫く磁束$\oint_C\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_\Sigma\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$ に等しい。

この量が $\bm{B}$ だけで言い尽くせない例が、無限に長いソレノイドである。半径 $R$ のソレノイドの中に一様な磁場 $B_0\bm{e}_z$ があり、外では $\bm{B}=0$ とする。円柱座標 $(\rho,\varphi,z)$ でベクトルポテンシャルを

$$A_\varphi=\begin{cases}\dfrac{B_0\rho}{2}&(\rho<R)\\[2mm] \dfrac{\Phi_B}{2\pi\rho}&(\rho>R)\end{cases},\qquad \Phi_B=\pi R^2B_0\tag{2.8.25}$$

と選ぶと、中では $\nabla\times\bm{A}=\frac1\rho\partial_\rho(\rho A_\varphi)\bm{e}_z=B_0\bm{e}_z$、外では $0$ になる（図 2.8.3）。ソレノイドを1周する曲線では、半径によらず $\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=2\pi\rho A_\varphi=\Phi_B$ である。

外側だけを見ると $\bm{A}=\nabla\Lambda$、$\Lambda=\Phi_B\varphi/(2\pi)$ と書けて、$\bm{A}$ をゲージ変換で消せるように見える。しかしこの $\Lambda$ は1周すると $\Phi_B$ だけずれる多価の関数で、外側の領域全体では1価の $\Lambda$ で $\bm{A}$ を消すことはできない。外側の領域は穴（ソレノイド）のあいた領域で、ソレノイドを囲む曲線を縮めて1点にできないためである。

古典力学の粒子は Lorentz 力にしか反応しないので、外側を動く限りソレノイドの影響を受けない。一方、作用 (2.8.1) の値には$q\int\dot{\bm{r}}\cdot\bm{A}\,\mathrm{d} t=q\int\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ が入るので、ソレノイドの両側を通って同じ2点を結ぶ2本の経路では、作用が

$$\Delta S=q\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=q\Phi_B\tag{2.8.26}$$

だけ違う。この差はゲージによらない。量子力学では作用が位相 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} S/\hbar}$ に入るので（第1部第5章・第4部第8章）、2本の経路を通った波の干渉縞は位相差 $q\Phi_B/\hbar$ だけずれる。$\bm{B}=0$ の場所しか通らない電子でも、ソレノイドの中の磁束を感じる。これを Aharonov と Bohm が1959年に指摘し¹1Y. Aharonov and D. Bohm (1959), Physical Review 115, 485–491.下の脚注へ閉じる、外村らが超伝導体で磁場を閉じ込めた微小な環状磁石を使って確かめた²2A. Tonomura et al. (1986), Physical Review Letters 56, 792–795.下の脚注へ閉じる。量子力学での扱いは第4部第6章で行う。

1　Y. Aharonov and D. Bohm (1959), Physical Review 115, 485–491.

2　A. Tonomura et al. (1986), Physical Review Letters 56, 792–795.