授業で習った形との対応

(1) $\bm{v}=\dot{\bm{r}}$ とすると

$$L_1=\frac m2\bm{v}^2+q\dot y\,\frac{E_0}{\omega}\sin\theta,\qquad L_2=\frac m2\bm{v}^2-qE_0\cos\theta+q\dot x\,\frac{E_0}{c}\cos\theta+q\dot y\,\frac{E_0}{\omega}\sin\theta$$

（$\theta=kx-\omega t$ は粒子の位置 $x(t)$ で取る）。$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\Lambda=\frac{E_0}{\omega}\cos\theta\,(k\dot x-\omega)=\frac{E_0}{c}\dot x\cos\theta-E_0\cos\theta$ なので、$L_2-L_1=q\,\mathrm{d}\Lambda/\mathrm{d} t$ で式 (2.8.7) のとおりである。

(2) $\theta$ は $x$ と $t$ だけの関数なので、$L_1$ も $L_2$ も $y$ を含まない。保存する正準運動量は

$$p_y=\frac{\partial L}{\partial \dot y}=m\dot y+\frac{qE_0}{\omega}\sin\theta$$

で、2つのゲージで同じ式になる。$\Lambda$ が $y$ によらず、ゲージ変換で $A_y$ が変わらないためである（$z$ も循環座標で $p_z=m\dot z$ が保存する）。

(3) $p_x^{(1)}=m\dot x$、$p_x^{(2)}=m\dot x+\frac{qE_0}{c}\cos\theta$ で、差は $q\,\partial_x\Lambda$ である。本文の $\bm{p}\to\bm{p}+q\nabla\Lambda$ の $x$ 成分で、ゲージによらないのは $m\dot x$ のほうである。$L$ が $x$ を含むので、どちらのゲージでも $p_x$ は保存しない。

(4) 初めに $\dot y=0$、$\theta=0$ なので $p_y=0$。保存則から各時刻で $\dot y=-\frac{qE_0}{m\omega}\sin\theta$ となり、$\lvert \dot y\rvert$ の最大値は $\lvert q\rvert E_0/(m\omega)$ である。数値は $\frac{1.602\times10^{-19}\times1.0\times10^{6}}{9.11\times10^{-31}\times1.88\times10^{15}}=93\,\mathrm{m/s}$ で、光速の $3\times10^{-7}$ 倍なので非相対論の扱いでよい。横の速度は $A_y$ に比例して振動し、その形はゲージ1でもゲージ2でも同じ保存則 $p_y=0$ から出る。ゲージで変わる量（$p_x$）と変わらない量（$p_y$）が、どの成分に $\nabla\Lambda$ が入るかで分かれている。