当てる道具：任意の関数をパラメータにもつ対称性

解析力学から様々な理論分野を組み立てる　第2部 第8章 §2.8.2　★★★ パラメータが定数なら保存則（第1定理）、任意の関数なら Euler–Lagrange 式どうしの恒等式（第2定理）

第1定理との違い

第1部第10章と第2部第7章で使った Noether の定理は、変換の大きさ $\epsilon$ が定数の場合のものだった。その場合、作用が変わらないことから、運動方程式の解の上でだけ成り立つ保存則 $\partial_\mu j^\mu=0$ が出る。ゲージ変換 (2.8.4) では、ずらす量 $\Lambda(x)$ が時空の点ごとに勝手に選べる関数である。このように変換のパラメータが任意の関数であるとき、作用が変わらないことから出てくる結論は性質が違う。Noether は1918年の同じ論文でこの場合も扱っており（第1部第10章の脚注）、こちらをNoether の第2定理と呼ぶ。

まず記号を用意する。場の作用 $S[A]=\frac1c\int\mathcal L(A,\partial A)\,\mathrm{d}^4x$ に対して、Euler–Lagrange 方程式の左辺を

$$\mathcal E^\nu(x)\coloneqq\frac{\partial \mathcal L}{\partial A_\nu}-\partial_\mu\frac{\partial \mathcal L}{\partial (\partial_\mu A_\nu)}\tag{2.8.9}$$

と書く。これは第1部第10章の $\mathcal E_i$ の場の版で、解でない $A$ を入れても計算できる量である。第2部第5章で示したとおり、$A_\nu$ を $\delta A_\nu$ だけずらしたときの作用の1次の変化は、境界の項を除いて$\delta S=\frac1c\int\mathcal E^\nu\,\delta A_\nu\,\mathrm{d}^4x$ で、運動方程式は $\mathcal E^\nu=0$ である。

定理

第1定理と並べると違いがはっきりする。第1定理の結論 $\partial_\mu j^\mu=0$ は、運動方程式を使って初めて成り立つ物理の法則である。第2定理の結論 (2.8.10) は運動方程式を使わずに成り立つ恒等式で、運動方程式 $\mathcal E^\nu=0$ の4本が互いに独立でないことを言っている。

電磁場に当てる

作用 (2.8.2) の場の部分 $S_0=-\frac{1}{4\mu_0c}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\mathrm{d}^4x$ は、式 (2.8.6) によりどんな $A$ と $\Lambda$ でも変わらない。$\frac{\partial (F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial (\partial_\mu A_\nu)}=4F^{\mu\nu}$ なので $\mathcal E_0^\nu=\frac{1}{\mu_0}\partial_\mu F^{\mu\nu}$ で、定理 2.8.1 から

$$\partial_\nu\partial_\mu F^{\mu\nu}=0\qquad(\text{すべての }A_\mu\text{ で})\tag{2.8.11}$$

が出る。これは直接にも確かめることができる。$\partial_\nu\partial_\mu$ は添字 $\mu,\nu$ について対称、$F^{\mu\nu}$ は反対称なので、和を取ると $0$ になる。

恒等式 (2.8.11) は運動方程式について2つのことを言っている。1つ目は、4本の運動方程式 (2.8.3) の左辺の間に1つの関係があるので、右辺 $J^\nu$ も同じ関係を満たさなければ解が無いことである。これを 2.8.3節で扱う。2つ目は、4つの未知関数 $A_\mu$ に対して独立な方程式が実質3本しか無いので、$A_\mu$ が方程式だけでは決まらないことである。実際、$A_\mu$ が解なら $A_\mu-\partial_\mu\Lambda$ も解である。$\Lambda$ を時刻 $t=0$ の近くでは $0$、その後では $0$ でないように選べば、初期の $A_\mu$ とその時間微分がまったく同じで、後の時刻の $A_\mu$ が違う解を2つ作ることができる。粒子の力学では初期の座標と速度で運動が1つに決まったが、$A_\mu$ ではそれが成り立たない。決まるのは $F_{\mu\nu}$ だけである。この決まらなさを Hamilton 形式でどう扱うかが 2.8.4節の話になる。